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\begin{document}
\title{Contribui��es aos Fundamentos da Teoria dos Conjuntos Transfinitos
(draft)}
\author{Georg Cantor\\Tradu��o: Alessandro Duarte}

\maketitle
\hspace*{2.1cm}
\begin{minipage}{9cm}
"Hypotheses non fingo".\\[3pt]
"Neque enim leges intellectui aut rebus damus ad arbitrium nostrum, sed tanquam scribae fideles ab ipsius naturae voce latas et prolatas excipimus et describimus".\\[3pt]
"Veniet tempus, quo ista quae nunc latent, in lucem dies extrahat et longioris aevi diligentia".\\[3pt]
\end{minipage}

\tableofcontents{}

\section{A Concep��o de Pot�ncia ou O N�mero Cardinal}

Por ``conjunto'', entendemos qualquer cole��o $M$, considerada
como uma totalidade, de objetos determinados e distintos $m$ da nossa
intui��o ou do nosso pensamento. Estes objetos ser�o chamados de \textquotedblleft elementos\textquotedblright{}
de $M$.

Expressamos isto, em s�mbolos, da seguinte forma:

\begin{equation}
M=\{m\}.
\end{equation}

A uni�o de v�rios conjuntos $M$, $N$, $P$,..., os quais n�o possuem
elementos em comum, em um �nico conjunto, ser� designada por

\begin{equation}
(M, N, P, ...).
\end{equation}

Portanto, os elementos deste conjunto s�o os elementos de $M$, $N$,
$P$, etc., considerados como uma totalidade.

Chamamos de \textquotedblleft parte\textquotedblright{} ou \textquotedblleft conjunto
parcial\textquotedblright{} de um conjunto $M$ qualquer outro conjunto
$M_1$, cujos elementos s�o tamb�m elementos de $M$.

Se $M_2$ for uma parte de $M_1$ e $M_1$, uma parte de $M$, ent�o
$M_2$ ser� uma parte de $M$.

A todo conjunto $M$ pertence uma determinada \textquotedblleft pot�ncia\textquotedblright ,
a qual tamb�m chamamos de \textquotedblleft n�mero cardinal\textquotedblright .

\textit{Chamamos \textquotedblleft pot�ncia\textquotedblright{} ou
\textquotedblleft n�mero cardinal\textquotedblright{} de $M$ o conceito
geral que, por meio de nossa faculdade ativa do pensamento, origina-se
do conjunto $M$, quando abstra�mos da natureza de seus v�rios elementos
$m$ e da ordem na qual eles s�o apresentados.}

O resultado deste duplo ato de abstra��o, o n�mero cardinal ou a pot�ncia
de M, ser� designado por

\begin{equation}
\overline{\overline{M}}.
\end{equation}

Uma vez que todo elemento particular $m$, quando abstra�mos de sua
natureza, torna-se uma \textquotedblleft unidade\textquotedblright ,
ent�o o pr�prio n�mero cardinal � um conjunto determinado e composto
de unidades puras e este n�mero tem exist�ncia em nossa mente como
uma imagem ou proje��o intelectual do conjunto dado $M$.

\textit{Chamamos dois conjuntos M e N de \textquotedblleft equivalentes\textquotedblright{}
e designamos isto por}

\begin{equation}
M \sim N \quad \mbox{ou} \quad N\sim M,
\end{equation}

\noindent \textit{se for poss�vel coloc�-los, de acordo com alguma
lei, em uma rela��o de tal forma que a todo elemento de um deles corresponda
um e somente um elemento do outro}.

Assim, a toda parte $M_1$ de $M$ corresponde uma parte equivalente
e determinada $N_1$ de $N$ e vice-versa.

Se tivermos uma tal lei de correspond�ncia entre dois conjuntos equivalentes,
ent�o poderemos modific�-la de v�rias maneiras, exceto no caso em
que cada um deles consista apenas em um elemento. Em especial, sempre
ser� poss�vel fazer com que a um elemento particular $m_0$ de $M$
corresponda um elemento particular $n_0$ de $N$. Pois se, de acordo
com lei original, os elementos $m_0$ e $n_0$ n�o se correspondem,
mas ao elemento $m_0$ de $M$ corresponde o elemento $n_1$ de $N$
e ao elemento $n_0$ de $N$ corresponde o elemento $m_1$ de $M$,
podemos adotar a lei modificada segundo a qual $m_0$ corresponda
a $n_0$ e $m_1$ a $n_1$, sendo que, para todos os demais elementos,
a lei original permanece inalterada. Desta maneira, nosso objetivo
� alcan�ado.

\textit{Todo conjunto � equivalente a si mesmo}:

\begin{equation}
M\sim M.
\end{equation}

\textit{Se dois conjuntos forem equivalentes a um terceiro, ent�o
eles ser�o equivalentes entre si}:

\begin{equation}
\mbox{de}\ M\sim P\ \mbox{e}\ N\sim P,\ \mbox{segue-se}\ M\sim N
\end{equation}

� de import�ncia fundamental \textit{o teorema segundo o qual dois
conjuntos M e N ter�o o mesmo n�mero cardinal se e somente se eles
forem equivalentes}:

\begin{equation}
\mbox{de}\ M\sim N,\ resulta\ \ \overline{\overline{M}}=\overline{\overline{N}}
\end{equation}

\noindent e

\begin{equation}
\mbox{de}\ \overline{\overline{M}}=\overline{\overline{N}},\ \mbox{resulta}\ M\sim N
\end{equation}

\textit{Portanto, a equival�ncia de conjuntos constitui a condi��o
necess�ria e suficiente para a identidade de seus n�meros cardinais}.

De fato, segundo a defini��o de pot�ncia apresentada, o n�mero cardinal
$\overline{\overline{M}}$ permanecer� inalterado, se no lugar de
um ou de muitos ou, at� mesmo, de todos elementos $m$ de $M$, forem
postos elementos diferentes.

Ora, se $M\sim N$, ent�o haver� uma lei de correspond�ncia, por meio
da qual $M$ e $N$ est�o relacionados rec�proca e univocamente um
ao outro e, de acordo com ela, a cada elemento m de M corresponde
um �nico elemento $n$ de $N$. Desta forma, poder�amos pensar que,
no lugar de todo elemento $m$ de $M$, o elemento correspondente
$n$ de $N$ seria posto e, assim, $M$ se transformaria em $N$,
sem alterar o seu n�mero cardinal. Consequentemente

\setcounter{equation}{7}
\begin{equation}
\overline{\overline{M}}=\overline{\overline{N}}
\end{equation}

A inversa do teorema resulta da observa��o de que os elementos de
$M$ e as diferentes unidades de seu n�mero cardinal $\overline{\overline{M}}$
est�o relacionados rec�proca e univocamente. Pois, de certo modo,
como foi visto, $\overline{\overline{M}}$ origina-se de $M$, de
maneira que todo elemento $m$ de $M$ torna-se uma unidade particular
de $\overline{\overline{M}}$. Portanto, podemos afirmar que

\begin{equation}
M\sim \overline{\overline{M}}
\end{equation}

Da mesma forma, $N\sim \overline{\overline{N}}$. Ent�o, se $\overline{\overline{M}}=\overline{\overline{N}}$,
de acordo com (6), temos que $M\sim N$.

Mencionaremos ainda o seguinte teorema que resulta imediatamente do
conceito de equival�ncia.

\textit{Se} $M$, $N$, $P$,... \textit{forem conjuntos que n�o possuem
elementos em comum, e se} $M'$, $N'$, $P'$,... \textit{forem tamb�m
conjuntos com esta propriedade e se}

\begin{center}
$M\sim M',\ N\sim N,\ P\sim P',\ldots$
\end{center}

\noindent \textit{ent�o sempre teremos que}

\begin{center}
$(M, N, P, \ldots)\sim (M', N', P',\ldots)$
\end{center}

\section{\textquotedblleft Maior\textquotedblright{} e \textquotedblleft Menor\textquotedblright{}
com Pot�ncias}

Se, para dois conjuntos $M$ e $N$ que t�m n�meros cardinais $\mathfrak{a}=\overline{\overline{M}}$
e $\mathfrak{b}=\overline{\overline{N}}$, as \textit{duas} condi��es
forem satisfeitas:
\begin{enumerate}
\item \textit{N�o h� uma parte de} $M$ \textit{que seja equivalente a}
$N$,
\item H� uma parte $N_1$ de $N$, tal que , $N_1\sim M$
\end{enumerate}
ent�o, obviamente, em primeiro lugar, estas condi��es ainda ser�o
satisfeitas, se nelas $M$ e $N$ forem substitu�dos por dois conjuntos
equivalentes $M'$ e $N'$; \textit{Portanto, elas expressam uma determinada
rela��o entre os n�meros cardinais} $\mathfrak{a}$ e $\mathfrak{b}$.

Em segundo lugar, a equival�ncia de $M$ e $N$ e, portanto, a identidade
de $\mathfrak{a}$ e $\mathfrak{b}$, � exclu�da; pois, se tiv�ssemos
que $M\sim N$, ent�o ter�amos tamb�m a equival�ncia $N_1\sim N$,
porque $N_1\sim M$; e, uma vez que $M\sim N$, teria de existir tamb�m
uma parte $M_1$ de $M$ tal que $M_1\sim M$ e disto resultaria que
$M_1\sim N$; o que contradiz a condi��o 1).

Em terceiro lugar, \textit{a rela��o de} $\mathfrak{a}$ com $\mathfrak{b}$
\textit{� tal que se torna imposs�vel a mesma rela��o de} $\mathfrak{b}$
\textit{com} $\mathfrak{a}$; porque se em 1) e 2) os pap�is desempenhados
por $M$ e $N$ forem trocados, ent�o surgir�o disto duas condi��es
as quais s�o contradit�rias �quelas apresentadas anteriormente.

\textit{Expressamos a rela��o de} $\mathfrak{a}$ \textit{com} $\mathfrak{b}$
\textit{caracterizada por }1)\textit{ e }2)\textit{, dizendo que }$\mathfrak{a}$\textit{
� menor que }$\mathfrak{b}$\textit{ ou que }$\mathfrak{b}$\textit{
� maior que }$\mathfrak{a}$\textit{; em s�mbolos}

\setcounter{equation}{0}
\begin{equation}
\mathfrak{a}<\mathfrak{b}\ \mbox{ou}\ \mathfrak{b}>\mathfrak{a}
\end{equation}

Podemos facilmente provar que

\begin{equation}
\mbox{se}\ \mathfrak{a}<\mathfrak{b}\ \mbox{e}\ \mathfrak{b}<\mathfrak{c},\ \mbox{ent�o}\ \mathfrak{a}<\mathfrak{c}
\end{equation}

Da mesma maneira, � uma consequ�ncia imediatamente desta defini��o
que\textit{ se} $P_1$ \textit{for parte de um conjunto }$P$, \textit{teremos
que a partir de} $\mathfrak{a}<\overline{\overline{P_1}}$ � poss�vel
estabelecer que $\mathfrak{a}<\overline{\overline{P}}$, \textit{e
a partir de} $\overline{\overline{P}}<\mathfrak{b}$ estabelecer que
$\overline{\overline{P_1}}<\mathfrak{b}$.

Vimos que, das tr�s rela��es

\begin{center}
$\mathfrak{a}=\mathfrak{b},\ \mathfrak{a}<\mathfrak{b},\ \mathfrak{b}<\mathfrak{a}$
\end{center}

\noindent cada uma exclui as outras duas.

\textit{Por outro lado, n�o �, de modo algum, auto-evidente e nem
poderia ser provado neste est�gio da nossa investiga��o que, para
quaisquer dois n�meros cardinais $\mathfrak{a}$ e $\mathfrak{b}$,
uma destas tr�s rela��es deva necessariamente ocorrer}.

Posteriormente, quando tivermos uma perspectiva geral da s�rie ascendente
dos n�meros cardinais transfinitos e uma compreens�o n�tida de suas
rela��es, a verdade do seguinte teorema poder� ser estabelecida.

\begin{enumerate}
\item[A.] ``\textit{Se $\mathfrak{a}$ e $\mathfrak{b}$ forem quaisquer dois n�meros cardinais, ent�o ou $\mathfrak{a}=\mathfrak{b}$ ou $\mathfrak{a}<\mathfrak{b}$ ou $\mathfrak{a}>\mathfrak{b}$}''.
\end{enumerate}

Deste teorema ser� poss�vel deduzir, de uma forma bastante simples,
os seguintes teoremas os quais, entretanto, n�o ser�o utilizados neste
est�gio da nossa investiga��o:

\begin{enumerate}
\item[B.]  ``\textit{Se dois conjuntos $M$ e $N$ forem tais que $M$ � equivalente a uma parte $N_1$ de $N$ e $N$, a uma parte $M_1$ de $M$, ent�o $M$ e $N$ ser�o equivalentes}'';\\[3pt]
\item[C.] ``Se $M_1$ for uma parte de um conjunto $M$ e $M_2$, uma parte do conjunto $M_1$, e se os conjuntos $M$ e $M_2$ forem equivalentes, ent�o $M_1$ ser� tamb�m equivalente a $M$ e a $M_2$'';\\[3pt]
\item[D.]  ``\textit{Se, para dois conjuntos $M$ e $N$, for satisfeita a condi��o segundo a qual $N$ n�o � equivalente nem ao pr�prio $M$, nem a uma parte de $M$, ent�o haver� uma parte $N_1$ de $N$ que � equivalente a $M$}'';\\[3pt]
\item[E.] ``\textit{Se dois conjuntos $M$ e $N$ n�o forem equivalentes, e se houver uma parte $N_1$ de $N$ que � equivalente a $M$, ent�o nenhuma parte de $M$ ser� equivalente a $N$}''.
\end{enumerate}

\section{A Adi��o e Multiplica��o de Pot�ncias}

A uni�o de dois conjuntos $M$ e $N$, os quais n�o possuem elementos
em comum, foi designada em �1, (2) por $(M, N)$. Cham�-la-emos ``conjunto
uni�o de $M$ e $N$\textquotedblright .

Se $M'$ e $N'$ forem dois outros conjuntos, que n�o possuem elementos
comuns, e se $M\sim M'$ e $N\sim N'$ , ent�o tamb�m teremos que

\begin{center}
$(M,N)\sim (M',N')$.
\end{center}

Portanto, o n�mero cardinal de $(M, N)$ depende somente dos n�meros
cardinais $\overline{\overline{M}}=\mathfrak{a}$ e $\overline{\overline{N}}=\mathfrak{b}$.

Isto nos leva � defini��o da soma de $\mathfrak{a}$ e $\mathfrak{b}$,
quando estabelecemos

\setcounter{equation}{0}
\begin{equation}
\mathfrak{a}+\mathfrak{b}=\overline{\overline{(M+N)}}
\end{equation}

Uma vez que, no conceito de pot�ncia, abstra�mos da ordem dos elementos,
resulta imediatamente que

\begin{equation}
\mathfrak{a}+\mathfrak{b}=\mathfrak{b}+\mathfrak{a}
\end{equation}

\noindent e, para quaisquer tr�s n�meros cardinais $\mathfrak{a}$,
$\mathfrak{b}$, $\mathfrak{c}$, resulta que

\begin{equation}
\mathfrak{a}+(\mathfrak{b}+\mathfrak{c})=(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})+\mathfrak{c}
\end{equation}

Agora, chegamos � multiplica��o.

Todo elemento $m$ de um conjunto $M$ pode ligar-se a todo elemento
$n$ de um outro conjunto $N$, formando um novo elemento $(m, n)$;
estipularemos o s�mbolo $(M.N)$ para o conjunto de todas estas liga��es
$(m, n)$, e cham�-lo-emos \textquotedblleft conjunto de liga��es
de $M$ e $N$\textquotedblright . Portanto,

\begin{equation}
(M.N)=\{(m,n)\}
\end{equation}

\noindent Vemos que a pot�ncia de $(M.N)$ tamb�m depende somente
das pot�ncias $\overline{\overline{M}}=\mathfrak{a}$ e $\overline{\overline{N}}=\mathfrak{b}$;
pois, se substituirmos os conjuntos $M$ e $N$ pelos seus conjuntos
equivalentes

\begin{center}
$M'=\{m'\}$ e $N'=\{n'\}$
\end{center}

\noindent e concebermos $m$, $m'$, assim como $n$, $n'$, como
elementos correspondentes, ent�o o conjunto

\begin{center}
$(M'.N')=\{(m',n')\}$
\end{center}

\noindent estar� relacionado rec�proca e univocamente com $(M.N)$,
considerando-se $(m,n)$ e $(m',n')$ como elementos correspondentes.
Portanto,

\begin{equation}
(M',N')\sim(M,N)
\end{equation}

Agora, definiremos o produto $\mathfrak{a}.\mathfrak{b}$ pela equa��o

\begin{equation}
\mathfrak{a}.\mathfrak{b}=\overline{\overline{(M.N)}}
\end{equation}

Um conjunto que tem o n�mero cardinal $\mathfrak{a}.\mathfrak{b}$
pode ser formado de dois conjuntos $M$ e $N$ que t�m os n�meros
cardinais $\mathfrak{a}$ e $\mathfrak{b}$, de acordo com a seguinte
regra: Partimos do conjunto $N$ e substitu�mos nele todo elemento
$n$ por um conjunto $M_n\sim M$; se colecionarmos {[}zusammenfassen{]}
os elementos de todos estes conjuntos $M_n$ em uma totalidade $S$,
ent�o veremos facilmente que

\begin{equation}
S\sim(M.N)
\end{equation}

\noindent e, consequentemente,

\begin{center}
$\overline{\overline{S}}= \mathfrak{a}.\mathfrak{b}$
\end{center}

Pois, se, de acordo com qualquer dada lei de correspond�ncia entre
os dois conjuntos equivalentes $M$ e $M_n$, designarmos o elemento
de $M_n$ que corresponde ao elemento $m$ de $M$ por $m_n$, ent�o
teremos que

\begin{equation}
S=\{m_n\}
\end{equation}

\noindent e, assim, os conjuntos $S$ e $(M.N)$ podem ser relacionados
rec�proca e univocamente um ao outro, considerando-se $m_n$ e $(m, n)$
como elementos correspondentes.

A partir de nossas defini��es, obtemos facilmente os teoremas:

\begin{equation}
\mathfrak{a}.\mathfrak{b}=\mathfrak{b}.\mathfrak{a}
\end{equation}

\begin{equation}
\mathfrak{a}.(\mathfrak{b}.\mathfrak{c})=(\mathfrak{a}.\mathfrak{b}).\mathfrak{c}
\end{equation}

\begin{equation}
\mathfrak{a}.(\mathfrak{b}+\mathfrak{c})=\mathfrak{a}.\mathfrak{b}+\mathfrak{a}.\mathfrak{c}
\end{equation}

\noindent porque

\begin{center}
$(M.N)\sim(N.M)$,\\[3pt]
$(M.(N.P))\sim((M.N).P)$,\\[3pt]
$(M.(N,P))\sim((M.N),(M.P))$
\end{center}

\textit{Adi��o e multiplica��o de pot�ncias est�o sujeitas, portanto,
�s leis comutativa, associativa e distributiva.}

\section{A Exponencia��o de Pot�ncias}

Por \textquotedblleft cobertura do conjunto\marginpar{Cantor usa a palavra \textquotedblleft Belegung der Menge N...\textquotedblright{}
\textquotedblleft belengen\textquotedblright{} significa cobrir. Na
tradu��o inglesa, temos a palavra \textquotedblleft covering\textquotedblright{}
que significa tamb�m, parece, \textquotedblleft cobertura\textquotedblright . } $N$ nos elementos do conjunto $M$\textquotedblright , ou de uma
maneira mais simples, por \textquotedblleft cobertura de $N$ em $M$\textquotedblright ,
entendemos uma lei segundo a qual a todo elemento $n$ de $N$ est�
ligado um elemento determinado de $M$, onde um e o mesmo elemento
de $M$ pode reiteradamente participar da aplica��o. O elemento de
$M$ que est� ligado a $n$ �, de certa forma, uma fun��o un�voca
{[}eindeutig{]} de $n$ e ele pode ser designado por $f(n)$; esta
fun��o ser� chamada \textquotedblleft \textit{fun��o cobertura de}
$n$\textquotedblright . Chamaremos a cobertura correspondente de
$N$ de $f(N)$.

Duas coberturas $f_1(N)$ e $f_2(N)$ ser�o consideradas iguais se
e somente se, para todo elemento $n$ de $N$, a equa��o

\setcounter{equation}{0}
\begin{equation}
f_1(n)=f_2(n)
\end{equation}

\noindent for satisfeita, de maneira que, se esta equa��o n�o subsistir
nem mesmo para um �nico elemento particular $n=n_0$, $f_1(N)$ e
$f_2(N)$ ser�o caracterizadas como coberturas \textit{diferentes}
de $N$.

Por exemplo, se $m_0$ for um elemento particular de $M$, poderemos
estipular que, para todo $n$,

\begin{center}
$f(n)=m_0$;
\end{center}

\noindent esta lei constitui uma cobertura particular de $N$ a $M$.

Outro tipo de cobertura ser� obtido, se $m_0$ e $m_1$ forem dois
elementos particulares e diferentes de $M$ e se $n_0$ for um elemento
particular de $N$, estipulando-se que

\begin{center}
$f(n_0)=m_0$,\\[3pt]
$f(n)=m_1$,\\[3pt]
\end{center}

\noindent para todo $n$ que � diferente de $n_0$.

A totalidade das diferentes coberturas de $N$ em $M$ forma um conjunto
determinado que possui os elementos $f(N)$; cham�-lo-emos ``conjunto-cobertura
de $N$ em $M$'' e design�-lo-emos por $(N|M)$. Portanto:

\begin{equation}
(N|M)=\{f(N)\}
\end{equation}

Se $M\sim M'$ e $N\sim N'$ , ent�o poderemos facilmente ver que

\begin{equation}
(N|M)\sim (N'|M')
\end{equation}

\noindent Destarte, o n�mero cardinal de $(N|M)$ depende somente
dos n�meros cardinais $\overline{\overline{M}}=\mathfrak{a}$ e $\overline{\overline{N}}=\mathfrak{b}$;
isto servir� para definirmos a \textbf{pot�ncia��o} $\mathfrak{a}^{\mathfrak{b}}$:

\begin{equation}
\mathfrak{a}^{\mathfrak{b}}=\overline{\overline{(N|M)}}
\end{equation}

Para quaisquer tr�s conjuntos $M$, $N$ e $P$, podemos facilmente
provar os teoremas:

\begin{equation}
((N|M).(P|M))\sim ((N,P)|M),
\end{equation}

\begin{equation}
((P|M).(P|N))\sim (P|(M,N)),
\end{equation}

\begin{equation}
((P|(N|M))\sim ((P.N)|M),
\end{equation}

\noindent a partir dos quais, se admitirmos que $\overline{\overline{P}}=\mathfrak{c}$,
obtemos, de acordo com 4 e levando-se em conta �3, os teoremas que
s�o v�lidos para quaisquer tr�s n�meros cardinais $\mathfrak{a}$,
$\mathfrak{b}$ e $\mathfrak{c}$:

\begin{equation}
\mathfrak{a}^{\mathfrak{b}}.\mathfrak{a}^{\mathfrak{c}}=\mathfrak{a}^{\mathfrak{b}+\mathfrak{c}}
\end{equation}

\begin{equation}
\mathfrak{a}^{\mathfrak{c}}.\mathfrak{b}^{\mathfrak{c}}=(\mathfrak{a}.\mathfrak{b})^{\mathfrak{c}}
\end{equation}

\begin{equation}
(\mathfrak{a}^{\mathfrak{b}})^{\mathfrak{c}}=\mathfrak{a}^{\mathfrak{b}.\mathfrak{c}}
\end{equation}

Reconhecemos o qu�o f�rteis e influentes s�o estas simples f�rmulas
estendidas �s pot�ncias pelo seguinte exemplo:

Se designarmos a pot�ncia do \textit{continuum} linear $X$ (ou seja,
a totalidade {[}Inbegriffs{]} $X$ de {[}todos{]} os n�meros reais
$x$ tais que  $x\geqq0$ e $x\leqq1$ ) por $\mathfrak{d}$, poderemos
facilmente nos convencer que ela pode ser representada, entre outras,
pela f�rmula

\begin{equation}
\mathfrak{o}=2^{\aleph_0}
\end{equation}

\noindent em �6 apresentaremos a explica��o do significado de $\aleph_0$.

De fato, de acordo com (4), $2^{\aleph_0}$ � a pot�ncia de todas
as representa��es 

\begin{equation}
x=\frac{f(1)}{2}+\frac{f(2)}{2^2}+\ldots+\frac{f(v)}{2^v}+\ldots\ (\mbox{onde}\ f(v)=0\ \mbox{ou}\ 1) 
\end{equation}

\noindent dos n�meros $x$ no sistema bin�rio. Se prestarmos aten��o
ao fato de que todo n�mero $x$ � somente representado uma vez, com
a exce��o dos n�meros $x=\frac{2v+1}{2^{\mu}}<1$, que s�o representados
duas vezes, ent�o, em primeiro lugar, se designarmos a totalidade
\textquotedblleft enumer�vel\textquotedblright{} {[}abz�hlbare{]}
deste �ltimo por $\{s_v\}$, teremos que

\begin{center}
$2^{\aleph_0}=\overline{\overline{(\{s_v\},X)}}$
\end{center}

\noindent Se tirarmos de X qualquer conjunto \textquotedblleft enumer�vel\textquotedblright{}
\{tv\} e designarmos o restante por X1, ent�o

\begin{center}
$X=(\{t_v\},X_1)=(\{t_{2v-1}\},\{t_{2v}\}, X_1)$,\\[3pt]
$\  (\{s_v\},X)=(\{s_v\},\{t_{v}\}, X_1)$,\\[3pt]
$\{t_{2v-1}\}\sim \{s_v\}$, $\{t_{2v}\}\sim\{t_v\}$, $X_1\sim X_1$
\end{center}

\noindent Portanto,

\begin{center}
$X\sim (\{s_v\},X)$
\end{center}

\noindent E assim (�1)

\begin{center}
$2^{\aleph_0}=\overline{\overline{X}}=\mathfrak{o}$.
\end{center}

De acordo com �6, (6) resulta de (11), multiplicando-se um n�mero
por ele pr�prio {[}\textit{Quadrieren}{]},

\begin{center}
$\mathfrak{o.o}=2^{\aleph_{0}}.2^{\aleph_{0}}=2^{\aleph_{0}+\aleph_{0}}=2^{\aleph_{0}}=\mathfrak{o}$
\par\end{center}

\noindent e, assim, pela multiplica��o cont�nua de $\mathfrak{o}$,
obtemos

\begin{center}
\begin{equation}
\mathfrak{0}^{v}=\mathfrak{o},
\end{equation}
\par\end{center}

\noindent onde $v$ � qualquer n�mero cardinal finito.

Se elevarmos ambos os lados de (11) � \textbf{pot�ncia} $\aleph_{0}$,
obteremos 

\begin{center}
$\mathfrak{o}^{\aleph_{0}}=(2^{\aleph_{0}})^{\aleph_{0}}=2^{\aleph_{0}.\aleph_{0}}$.
\par\end{center}

\noindent Mas, uma vez que, de acordo com �6, (8), $\aleph_{0}.\aleph_{0}=\aleph_{0}$,
ent�o

\begin{equation}
\mathfrak{o}^{\aleph_{0}}=\mathfrak{o}
\end{equation}

\noindent As f�rmulas (13) e (14) n�o tem outro significado, exceto
este: \textquotedblleft tanto o \textit{continuum} $v$-dimensional,
quanto o \textit{continuum} $\aleph_{0}$-dimensional t�m a pot�ncia
do \textit{continuum} unidimensional. Portanto, \textit{o conte�do
inteiro} do artigo apresentado no Crelle's Journal, volume 84, p�g.
242 � derivado, de uma maneira puramente alg�brica, \textit{com estes
poucos tra�os de caneta}, a partir das \textit{f�rmulas fundamentais
do c�lculo com pot�ncias}.

\section{Os N�meros Cardinais Finitos}

Em primeiro lugar, mostramos como os princ�pios estabelecidos, e a
partir dos quais, mais tarde, a teoria dos n�meros cardinais atualmente
infinitos ou transfinitos dever� ser constru�da, proporcionam tamb�m
o fundamento mais natural, conciso e rigoroso para a teoria dos n�meros
finitos.

A uma �nica coisa $e_0$, se a subsumirmos sob o conceito de um conjunto
$E_0=(e_0)$, corresponde, como n�mero cardinal, o que chamaremos
\textquotedblleft um\textquotedblright{} e designamos por 1; temos
que

\setcounter{equation}{0}

\begin{equation}
1=\overline{\overline{E}}_0
\end{equation}

\noindent Agora, unamos a $E_0$ uma outra coisa $e_1$ e chamemos
o conjunto uni�o de $E_1$, tal que

\begin{equation}
E_1=(E_0,e_1)=(e_0,e_1)
\end{equation}

Chamamos o n�mero cardinal de $E_1$ \textquotedblleft dois\textquotedblright{}
e designamo-lo por 2:

\begin{equation}
2=\overline{\overline{E}}_1
\end{equation}

Por meio da adi��o de novos elementos, obtemos a s�rie de conjuntos

\begin{center}
$E_2=(E_1,e_2)$, $E_3=(E_2,e_3),\dots$,
\par\end{center}

\noindent os quais nos d�o sucessivamente, em uma sequ�ncia ilimitada,
os outros ent�o chamados \textquotedblleft n�meros cardinais finitos\textquotedblright .
Eles ser�o designados por 3, 4, 5,.... O uso que fazemos aqui destes
n�meros como subscritos � justificado pelo fato de que um n�mero �
somente empregado, com esse significado, depois que ele foi definido
como um n�mero cardinal. Se, por $v-1$, entendermos o n�mero que
precede imediatamente a $v$ na s�rie acima, ent�o teremos que

\begin{equation}
v=\overline{\overline{E}}_{v-1}
\end{equation}

\begin{equation}
E_v=(E_{v-1},e_v)=(e_0,e_1,\ldots,e_v)
\end{equation}

\noindent A partir da defini��o de soma em �3, obtemos que

\begin{equation}
\overline{\overline{E}}_v=\overline{\overline{E}}_{v-1}+1.
\end{equation}

Ou seja, todo n�mero cardinal finito (exceto 1) � a soma do n�mero
imediatamente precedente e 1.

Neste est�gio da nossa investiga��o, os seguintes tr�s teoremas entram
em primeiro plano:

\begin{enumerate}
\item[A.]  ``\textit{Os membros da s�rie ilimitada de n�meros cardinais finitos}
\begin{center}
$1,2,3,\ldots$
\end{center}
\textit{s�o todos diferentes uns dos outros} (isto �, a condi��o de equival�ncia estabelecida em \S 1 n�o � satisfeita pelos respectivos conjuntos)''.
\item[B.] ``\textit{Qualquer um destes n�meros $v$ � maior que seus predecessores e menor que seus sucessores} (\S 2)''
\item[C.] ``\textit{N�o h� nenhum n�mero cardinal que se encontra, de acordo com a sua grandeza, entre dois n�meros consecutivos $v$ e $v+1$}'' (\S 2)
\end{enumerate}

Apoiamo-nos, para darmos as provas dos teoremas acima, nos seguintes
dois teoremas, D e E, os quais, consequentemente, ser�o justificados
em primeiro lugar.

\begin{enumerate}
\item[D.] ``\textit{Se $M$ for um conjunto, tal que ele n�o tem a pot�ncia igual � de nenhum de seus conjuntos parciais, ent�o o conjunto $(M, e)$, que surge de $M$ por meio da adi��o de um �nico novo elemento, tamb�m ter� a mesma propriedade de n�o ter a pot�ncia igual � de nenhum de seus conjuntos parciais}''
\item[E.] ``\textit{Se $N$ for um conjunto que tem n�mero cardinal finito $v$ e se $N_1$ for qualquer conjunto parcial de $N$, ent�o o n�mero cardinal de $N_1$ ser� igual a um dos n�meros precedentes $1, 2, 3,\ldots, v-1$}''
\end{enumerate}

\textbf{Prova de D}. Suponhamos que o conjunto $(M, e)$ tenha a mesma
pot�ncia que � de um de seus conjuntos parciais, o qual chamaremos
de $N$. Ent�o dois casos, ambos levando a uma contradi��o, ter�o
de ser distinguidos:
\begin{enumerate}
\item O conjunto $N$ cont�m $e$ como elemento; seja $N=(M_1, e)$; ent�o
$M_1$ � uma parte de $M$, porque $N$ � uma parte de $(M, e)$.
Como vimos em �1, a lei da correspond�ncia entre dois conjuntos equivalentes
$(M, e)$ e $(M_1, e)$ pode ser modificada, de tal forma que o elemento
$e$ do primeiro conjunto corresponda ao mesmo elemento $e$ do segundo;
assim, $M$ e $M_1$ tamb�m est�o relacionados rec�proca e univocamente.
Mas, isto contradiz a suposi��o de que $M$ n�o tem a mesma pot�ncia
que a de sua parte $M_1$.
\item O conjunto parcial $N$ de $(M, e)$ n�o cont�m $e$ como elemento.
Ent�o ou $N$ � $M$ ou $N$ � uma parte de $M$. De acordo com a
lei de correspond�ncia entre $(M, e)$ e $N$, que est� na base de
nossa suposi��o, o elemento $e$ do primeiro conjunto poderia corresponder
ao elemento $f$ do segundo. Seja $N=(M_1, f)$; ent�o, o conjunto
$M$ tamb�m tem de estar relacionado rec�proca e univocamente com
$M_1$. Mas, $M_1$ � uma parte de $N$ e, assim, $M_1$ � tamb�m
uma parte de $M$. Logo, neste caso, $M$ tamb�m seria equivalente
a uma de suas partes, contradizendo a suposi��o.
\end{enumerate}

\textbf{Prova de E}. Suponhamos que o teorema � v�lido at� um certo
$v$ e, ent�o, concluiremos que ele � v�lido para o n�mero $v+1$
que sucede imediatamente a $v$.

Partiremos do conjunto $E_v=(e_0, e_1,\ldots, e_v)$ que tem o n�mero
cardinal $v+1$. Se o teorema for v�lido para este conjunto, ent�o,
resultar� imediatamente (�1) que ele tamb�m ser� v�lido para qualquer
outro conjunto com o mesmo n�mero cardinal $v+1$. Seja $E'$ qualquer
parte de $E_v$; distinguiremos os seguintes casos:
\begin{enumerate}
\item $E'$ n�o cont�m $e_v$ como elemento, ent�o ou $E'$ � $E_{v-1}$
ou $E'$ � uma parte de $E_{v-1}$. Portanto, $E'$ tem, como n�mero
cardinal, $v$ ou um dos n�meros $1, 2, 3,\ldots, v-1$, porque foi
pressuposto que o nosso teorema � v�lido para o conjunto $E_{v-1}$
que tem n�mero cardinal $v$.
\item $E'$ consiste em �nico elemento $e_v$, ent�o $\overline{\overline{E'}}=1$.
\item $E'$ consiste em $e_v$ e em um conjunto $E''$, de maneira que $E'=(E'',e_v)$.
$E''$ � uma parte de $E_{v-1}$ e tem, portanto, como n�mero cardinal,
de acordo com a nossa suposi��o, um dos n�meros $1, 2, 3,\ldots, v-1$.
\end{enumerate}
Mas, agora, $\overline{\overline{E'}}=\overline{\overline{E''}}+1$
e, assim, $E'$ tem, como n�mero cardinal, um dos n�meros $2, 3,\ldots, v$.

\textbf{Prova de A}. Qualquer um dos conjuntos que designamos por
$E_v$ tem a propriedade de n�o ser equivalente a qualquer um dos
seus conjuntos parciais. Pois, se supusermos que isto � v�lido at�
um certo $v$, ent�o resultar� do teorema D que isto � v�lido para
o sucessor imediato $v+1$.

Para $v=1$, reconhecemos imediatamente que o conjunto $E_1=(e_0,e_1)$
n�o � equivalente a quaisquer de seus conjuntos parciais, que s�o,
neste caso, $(e_0)$ e $(e_1)$.

Agora, se considerarmos quaisquer dois n�meros $\mu$ e $v$ da s�rie
$1, 2, 3,\ldots$ e se $\mu$ vier primeiro na s�rie e $v$ vier depois
de $\mu$ na s�rie, ent�o $E_{\mu-1}$ ser� um conjunto parcial de
$E_{v-1}$. Consequentemente, $E_{\mu-1}$ e $E_{v-1}$ n�o s�o equivalentes;
de acordo com isso, seus n�meros cardinais $\mu=\overline{\overline{E}}_{\mu-1}$
e $v=\overline{\overline{E}}_{v-1}$ n�o s�o iguais. 

\textbf{Prova de B}. Se, de dois n�meros cardinais finitos $\mu$
e $v$, aquele vier primeiro na s�rie e este vier depois daquele na
s�rie, ent�o $\mu<v$. Pois, se considerarmos os dois conjuntos $M=E_{\mu-1}$
e $N=E_{v-1}$, ent�o as duas condi��es para $<$ estabelecidas em
�2 ser�o satisfeitas por cada um deles. A condi��o 1) � satisfeita,
porque, de acordo com teorema E, um conjunto parcial de $M=E_{\mu-1}$
pode ter somente um dos n�meros cardinais $1, 2, 3,\ldots,\mu-1$
e, portanto, de acordo com o teorema A, n�o pode ser equivalente ao
conjunto $N=E_{v-1}$. A condi��o 2) � satisfeita, porque o pr�prio
$M$ � uma parte de $N$.

\textbf{Prova de C}. Seja a um n�mero cardinal que � menor que $v+1$.
Por causa da condi��o 2) em �2, h� um conjunto parcial de $E_v$ que
tem n�mero cardinal $\mathfrak{a}$. Pelo teorema E, a um conjunto
parcial de $E_v$ pertence apenas um dos n�meros cardinais $1, 2, 3,\ldots,v$.

Portanto, $\mathfrak{a}$ � igual a um dos n�meros cardinais $1, 2, 3,\ldots,v$.

Pelo teorema B, nenhum destes � maior que $v$.

Consequentemente, n�o h� nenhum n�mero cardinal $\mathfrak{a}$ que
seja menor que $v+1$ e maior que $v$.

O seguinte teorema � importante para o que vem a seguir:

\begin{enumerate}
\item[F.] ``\textit{Se $K$ for qualquer conjunto de diferentes n�meros cardinais finitos, ent�o haver�, entre eles, um $k_1$, que � menor que todos os outros e, portanto, � o menor de todos}''.
\end{enumerate}

\textbf{Prova}. Ou o conjunto $K$ cont�m o n�mero $1$, neste caso,
ele � o menor e $k_1=1$; ou $K$ n�o cont�m o n�mero $1$. Neste
�ltimo caso, seja $J$ a totalidade {[}\textit{Inbegriff}{]} de todos
aqueles n�meros cardinais de nossa s�rie $1, 2, 3,\ldots$, que s�o
menores que aqueles que ocorrem em $K$. Se um n�mero $v$ pertencer
a $J$, ent�o todos os n�meros menores que $v$ tamb�m pertencer�o
a $J$. Mas, $J$ tem de ter um elemento $v_1$, tal que $v_1+1$
e, consequentemente, todos os n�meros maiores que $v_1+1$ n�o perten�am
a $J$, pois, caso contr�rio, $J$ conteria a totalidade de todos
os n�meros finitos. No entanto, os n�meros que pertencem a $K$ n�o
est�o contidos em $J$. Portanto, $J$ n�o � outra coisa, exceto o
segmento {[}Abschnitt{]} $(1, 2, 3,\ldots,v_1)$. O n�mero $v_1+1=k_1$
� necessariamente um elemento de $K$ e � menor que todos os outros.

De F, conclu�mos:

\begin{enumerate}
\item[G.] ``\textit{Todo conjunto $K=\{\kappa\}$ de diferentes n�meros cardinais finitos pode ser transformado em uma s�rie}
\begin{center}
$K=(\kappa_1,\kappa_2,\kappa_3,\dots)$
\end{center}
tal que
\begin{center}
$\kappa_1<\kappa_2<\kappa_3,\dots$
\end{center}
\end{enumerate}

\section{O Menor N�mero Cardinal Transfinito, Aleph Zero}

Os conjuntos que t�m um n�mero cardinal finito s�o chamados \textquotedblleft \textit{conjuntos
finitos}\textquotedblright . Chamaremos todos os demais conjuntos
\textquotedblleft \textit{conjuntos transfinitos}\textquotedblright{}
e seus n�meros cardinais \textquotedblleft \textit{n�meros cardinais
transfinitos}\textquotedblright .\setcounter{equation}{0}

A totalidade de \textit{todos os n�meros cardinais finitos} $v$ nos
oferece o primeiro exemplo de um conjunto transfinito; chamaremos
o n�mero cardinal (�1) que pertence a este conjunto de \textquotedblleft \textit{Aleph
Zero}\textquotedblright , em s�mbolos e, portanto, definiremos

\begin{equation}
\aleph_{0}=\overline{{\overline{\{v\}}}}
\end{equation}

\noindent Que $\aleph_{0}$ � um n�mero \textit{transfinito}, ou seja,
ele \textit{n�o � igual a nenhum} n�mero \textit{finito} $\mu$, resulta
do simples fato de que se ao conjunto $\{v\}$ for acrescentado um
novo elemento $e_0$, o conjunto uni�o $(\{v\}, e_0)$ ser� equivalente
a $\{v\}$. Pois, podemos pensar em uma rela��o reciprocamente un�voca
entre estes dois conjuntos, segundo a qual ao elemento $e_0$ do primeiro
conjunto corresponde o elemento 1 do segundo, ao elemento $v$ do
primeiro conjunto corresponde o elemento $v+1$ do segundo. De acordo
com �3, consequentemente, temos que

\begin{equation}
\aleph_{0}+1=\aleph_{0}
\end{equation}

Mas, em �5, mostramos que (para todo n�mero finito $\mu$) $\mu+1$
� sempre diferente de $\mu$, portanto $\aleph_{0}$ n�o � igual a
nenhum n�mero finito $\mu$.

\textit{O n�mero $\aleph_{0}$ � maior que todo n�mero finito} $\mu$:

\begin{equation}
\aleph_{0}>\mu
\end{equation}

\noindent Tendo em vista �3, isto resulta de: $\mu=\overline{\overline{(1,2,3,\ldots,\mu)}}$;
nenhuma parte do conjunto $(1,2,3,\ldots,\mu)$ � equivalente ao conjunto
$\{v\}$; e o pr�prio $(1,2,3,\ldots,\mu)$ � uma parte de $\{v\}$.

Por outro lado, $\aleph_{0}$ � \textit{o menor n�mero cardinal transfinito}.

Se $\mathfrak{a}$ for algum n�mero cardinal transfinito diferente
de $\aleph_{0}$, ent�o sempre teremos que

\begin{equation}
\aleph_{0}<\mathfrak{a}
\end{equation}

\begin{enumerate}
\item[A.]``\textit{Todo conjunto transfinito $T$ tem um conjunto parcial que tem n�mero cardinal} $\aleph_0$.''
\end{enumerate}

Prova. Se, de acordo com alguma regra, tirarmos um n�mero finito de
elementos $t_1, t_2,\ldots, t_{v-1}$ de $T$, ent�o sempre permanecer�
a possibilidade de se extrair outro elemento $t_v$. O conjunto $\{t_v\}$,
onde $v$ designa qualquer n�mero cardinal finito, � um conjunto parcial
de $T$ que tem n�mero cardinal $\aleph_{0}$, porque $\{t_{v}\}\sim\{v\}$
(�1).

\begin{enumerate}
\item[B.] ``\textit{Se $S$ for um conjunto transfinito que tem n�mero cardinal $\aleph_0$, e se $S_1$ for algum conjunto parcial transfinito de $S$, ent�o $\overline{\overline{S}}=\aleph_0$}''
\end{enumerate}

Prova. Suponha que $S\sim\{v\}$; se, de acordo com uma lei de correspond�ncia
entre estes dois conjuntos, designarmos por $s_v$ aquele elemento
de $S$ que corresponde ao elemento $v$ de $\{v\}$, ent�o

\begin{center}
$S=\{s_v\}$.
\par\end{center}

\noindent O conjunto parcial $S_1$ de $S$ consiste em certos elementos
$s_{\kappa}$ de $S$ e a totalidade dos n�meros $\kappa$ forma uma
parte transfinita $K$ do conjunto $\{v\}$. De acordo com o teorema
G, �5, o conjunto $K$ pode ser arranjado na forma de uma s�rie
\begin{center}
$K=\{\kappa_{v}\}$,
\par\end{center}

\noindent onde 

\begin{center}
$\kappa_{v}<\kappa_{v+1}$.
\par\end{center}

\noindent Consequentemente,

\begin{center}
$S_{1}=\{S_{\kappa_{v}}\}$.
\par\end{center}

\noindent Resulta disto que $S_{1}\sim S$, portanto $\overline{\overline{S_{1}}}=\aleph_{0}$.

De A e B, levando em conta �2, obtemos a f�rmula (4).

De (2), conclu�mos, adicionando-se 1 em ambos os lados da equa��o,
que

\begin{center}
$\aleph_{0}+2=\aleph_{0}+1=\aleph_{0}$,
\par\end{center}

\noindent e quando reiteramos esta considera��o, conclu�mos que

\begin{equation}
\aleph_{0}+v=\aleph_{0}.
\end{equation}

\noindent Mas, tamb�m temos que

\begin{equation}
\aleph_{0}+\aleph_{0}=\aleph_{0}.
\end{equation}

\noindent Pois, de acordo com (1), �3, $\aleph_{0}+\aleph_{0}$ �
o n�mero cardinal $\overline{\overline{(\{a_{v}\},\{b_{v}\})}}$,
porque 

\begin{center}
$\overline{\overline{\{a_{v}\}}}=\overline{\overline{\{b_{v}\}}}=\aleph_{0}$
\par\end{center}

Agora, obviamente, temos que

\begin{center}
$\{v\}=(\{2v-1\},\{2v\})$
\par\end{center}

\begin{center}
$(\{2v-1\},\{2v\})=(\{a_{v}\},\{b_{v}\})$,
\par\end{center}

\noindent e, portanto,

\noindent \begin{center}
$\overline{\overline{(\{a_{v}\},\{b_{v}\})}}=\overline{\overline{\{v\}}}=\aleph_{0}$
\par\end{center}

\noindent A equa��o (6) tamb�m pode ser escrita da seguinte maneira:

\begin{center}
$\aleph_{0}.2=\aleph_{0}$
\par\end{center}

\noindent e quando adicionamos, em ambos os lados da equa��o, $\aleph_{0}$
repetidas vezes, vemos que

\begin{center}
\begin{equation}
\aleph_{0}.v=v.\aleph_{0}=\aleph_{0}
\end{equation}
\par\end{center}

\noindent Mas, temos que

\begin{equation}
\aleph_{0}.\aleph_{0}=\aleph_{0}
\end{equation}

Prova. De acordo com (6), em �3, $\aleph_{0}.\aleph_{0}$ � o n�mero
cardinal que pertence ao conjunto de liga��o

\begin{center}
$\{(\mu,v)\}$
\par\end{center}

\noindent onde $\mu$ e $v$ s�o quaisquer dois n�meros cardinais
finitos independentes um do outro. Se $\lambda$ representar qualquer
n�mero cardinal finito (de modo que $\{\lambda\}$, $\{\mu\}$ e $\{v\}$
s�o designa��es diferentes para a mesma totalidade de todos os n�meros
cardinais finitos), ent�o teremos de mostrar que

\begin{center}
$\{(\mu,v)\}\sim\{\lambda\}$.
\par\end{center}

\noindent Se designarmos $\mu+v=\rho$, ent�o $\rho$ admitir� todos
os valores num�ricos $2, 3, 4,\ldots$, e haver�, ao todo, $\rho-1$
elementos $(\mu,v)$, para os quais $\mu+v=\rho$, a saber:

\begin{center}
$(1,\rho-1),(2,\rho-2),\ldots,(\rho-1,1)$.
\par\end{center}

\noindent Nesta sequ�ncia, pense primeiro que � colocado um elemento
$(1,1)$ para o qual $\rho=2$, e depois que foram colocados os dois
elementos para os quais $\rho=3$, e, ent�o, que foram colocados os
tr�s elementos para os quais $\rho=4$ e assim por diante, ent�o obtemos
todos os elementos $(\mu,v)$ em uma s�rie simples:

\begin{center}
$(1,1);(1,2),(2,1);(1,3),(2,2),(3,1);(1,4),(2,3),\ldots$
\par\end{center}

\noindent E, na verdade, aqui, como facilmente vemos, o elemento $(\mu,v)$
ocorre na $\rho$-�sima posi��o, onde

\begin{equation}
\lambda=\mu+\frac{(\mu+v-1)(\mu+v-2)}{2}.
\end{equation}

$\lambda$ admite, uma vez, qualquer valor num�rico $1, 2, 3,\ldots$;
portanto, em virtude de (9), subsiste uma rela��o reciprocamente un�voca
entre os conjuntos $\{\lambda\}$ e $\{(\mu,v)\}$.

Se ambos os lados da equa��o (8) forem multiplicados por $\aleph_{0}$,
ent�o obteremos $\aleph_{0}^{3}=\aleph_{0}^{2}=\aleph_{0}$ e, atrav�s
da multiplica��o reiterada por $\aleph_{0}$, obteremos a equa��o
que � v�lida para qualquer n�mero cardinal finito $v$:

\begin{equation}
\aleph_{0}^{n}=\aleph_{0}
\end{equation}

Os teoremas E e A, em �5, levam-nos ao teorema sobre conjuntos \textit{finitos}:

C. \textquotedblleft \textit{Todo conjunto finito E � tal que ele
n�o � equivalente a nenhum de seus conjuntos parciais}\textquotedblright .

A este teorema op�e-se nitidamente o seguinte teorema sobre conjuntos
\textit{transfinitos}:

D. \textquotedblleft \textit{Todo conjunto transfinito }$T$\textit{
� tal que ele tem um conjunto parcial $T_{1}$ o qual � equivalente
a }$T$\textquotedblright .

Prova. De acordo com o teorema A deste par�grafo, existe um conjunto
parcial $S={t_v}$ de $T$ que tem n�mero cardinal $\aleph_{0}$.
Seja $T=(S,U)$, de maneira que $U$ � composto daqueles elementos
de $T$ os quais s�o diferentes dos elementos $t_v$. Se supusermos
que $S_1={t_{v+1}}$, $T_1=(S_1,U)$, ent�o $T_1$ ser� um conjunto
parcial de $T$ e, de fato, $T_1$ ser� o conjunto que surge quando
suprimimos o �nico elemento $t_1$ de $T$. Uma vez que $S\sim S_{1}$
(teorema B deste par�grafo) e $U\sim U$, ent�o tamb�m $T\sim T_{1}$
(�1).

Nestes teoremas C e D, fica nitidamente evidente a diferen�a essencial
entre conjuntos finitos e infinitos, � qual j� nos referimos no ano
de 1877, no volume 84 do \textit{Crelle\textquoteright s Journal},
p�g 242.

Depois que introduzimos o menor n�mero cardinal $\aleph_{0}$ e derivamos
suas propriedades mais simples, surge a quest�o dos n�meros cardinais
maiores e de como eles s�o obtidos a partir de $\aleph_{0}$.

Deveremos mostrar que os n�meros cardinais transfinitos podem ser
ordenados de acordo com a sua grandeza e, nesta ordena��o, eles formam,
como os n�meros cardinais finitos, embora em um mais sentido amplo,
um \textquotedblleft \textit{conjunto bem-ordenado}\textquotedblright .

De acordo com alguma lei determinada, obtemos de $\aleph_{0}$ o pr�ximo
maior n�mero cardinal $\aleph_{1}$ e deste, de acordo com a mesma
lei, obtemos o pr�ximo maior n�mero cardinal $\aleph_{2}$ e assim
por diante.

Todavia, at� mesmo a sequ�ncia ilimitada de n�meros cardinais

\begin{center}
$\aleph_{0},\aleph_{1},\aleph_{2},\ldots,\aleph_{n},\ldots$
\par\end{center}

\noindent n�o exaure o conceito de n�mero cardinal transfinito. Provaremos
a exist�ncia de um n�mero cardinal que designarmos por $\aleph_{\omega}$.
Demonstraremos que tal n�mero � o pr�ximo maior n�mero que todos os
$\aleph_{v}$; a partir de $\aleph_{\omega}$ � obtido o pr�ximo maior
$\aleph_{\omega+1}$, da mesma maneira que � obtido $\aleph_{1}$
de $\aleph_{0}$ e assim por diante, sem fim.

\textit{Para cada n�mero cardinal transfinito} $\mathfrak{a}$ existe,
segundo uma lei uniforme, um pr�ximo maior n�mero cardinal transfinito
que � obtido de $\mathfrak{a}$; mas, tamb�m, para cada conjunto bem-ordenado
ilimitadamente ascendente $\{\mathfrak{a}\}$ de n�meros cardinais
transfinitos a, existe um pr�ximo maior n�mero cardinal transfinito
que � obtido, uniformemente, deste conjunto.

Para um fundamento rigoroso desta quest�o, descoberta em 1882 e exposta
no artigo \textquotedblleft Os Fundamentos de uma Teoria Geral de
Conjuntos\textquotedblright , assim como, no volume 21 de Math. Annalen,
servimo-nos dos ent�o chamados \textquotedblleft tipos ordinais\textquotedblright ,
cuja teoria, primeiramente, temos de explicar nos par�grafos seguintes.

\section{Os Tipos Ordinais de Conjuntos Simplesmente Ordenados}

Chamaremos um conjunto $M$ de \textquotedblleft \textit{simplesmente
ordenado}\textquotedblright , se uma \textquotedblleft \textit{hierarquia}\textquotedblright{}
determinada ocorrer entre seus elementos $m$, de tal forma que, sempre
de quaisquer dois elementos $m_1$, $m_2$, um ocupa uma ordem \textquotedblleft \textit{menor}\textquotedblright ,
o outro, uma ordem \textquotedblleft \textit{maior}\textquotedblright{}
e de tal forma que, de tr�s elementos $m_1$, $m_2$ e $m_3$, se
$m_1$ for, por exemplo, de acordo com a ordem, menor que $m_2$ e
este for menor que $m_3$, ent�o $m_1$ sempre ter� uma ordem menor
que $m_3$.

A rela��o entre dois elementos $m_1$ e $m_2$, na qual $m_1$ tem
uma ordem menor e $m_2$ tem uma ordem maior na hierarquia, ser� expressa
pela f�rmula:\setcounter{equation}{0}

\begin{equation}
m_{1}\prec m_{2}\ ,\ m_{2}\succ m_{1}
\end{equation}

\noindent Assim, por exemplo, todo conjunto de pontos $P$ definidos
em uma reta infinita ser� um conjunto simplesmente ordenado se, de
dois pontos $p_1$ e $p_2$ que pertencem a tal conjunto de pontos,
for destinada a ordem menor �quele, cuja coordenada (de acordo com
o ponto de origem e com a dire��o positiva) � menor.

Evidentemente, um e o mesmo conjunto, de acordo com v�rias diferentes
leis, poder� ser \textquotedblleft simplesmente ordenado\textquotedblright .
Se admitirmos, por exemplo, o conjunto $R$ de todos os n�meros racionais
positivos $\frac{p}{q}$ (onde $p$ e $q$ s�o relativamente primos)
os quais s�o maiores que 0 e menores que 1, ent�o, primeiramente,
teremos sua hierarquia \textquotedblleft natural\textquotedblright{}
de acordo com a grandeza. Mas, eles tamb�m podem ser ordenados (e
nesta ordena��o, queremos designar o conjunto por $R_0$), de tal
forma que, de dois n�meros $\frac{p_{1}}{q_{1}}$ e $\frac{p_{2}}{q_{2}}$,
para os quais as somas $p_1+q_1$ e $p_2+q_2$ t�m valores diferentes,
o n�mero para o qual a respectiva soma � menor recebe a ordem menor
e de tal modo que se $p_1+q_1=p_2+q_2$, ent�o o menor dos dois n�meros
racionais em rela��o � grandeza ser� o menor em rela��o � ordem.

Uma vez que a um e mesmo valor de $p+q$ sempre pertence apenas um
n�mero finito de n�meros racionais diferentes $\frac{p}{q}$, nosso
conjunto ter�, obviamente, nesta hierarquia, a forma

\begin{center}
$R_{0}=(r_{1},r_{2},\ldots,r_{v},\ldots)=(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{2}{5},\frac{3}{4},\ldots)$,
\par\end{center}

\noindent onde 
\noindent \begin{center}
$r_{v}\prec r_{v+1}$.
\par\end{center}

Portanto, quando falamos de um conjunto \textit{simplesmente ordenado}
$M_1$, sempre pensamos em estabelecer uma \textit{hierarquia determinada}
de seus elementos no sentido explicado acima.

Existem conjuntos que s�o dupla, tripla, $v$-tupla, $\mathfrak{a}$-tuplamente
ordenados, mas, por enquanto, tais conjuntos n�o ser�o considerados
em nossas investiga��es. Portanto, ser-nos-� permitido, no que se
segue, usar a curta express�o \textquotedblleft \textit{conjunto ordenado}\textquotedblright ,
quando quisermos expressar \textquotedblleft \textit{conjunto simplesmente
ordenado}\textquotedblright .

A todo conjunto ordenado $M$ pertence um \textquotedblleft \textit{tipo
ordinal}\textquotedblright{} determinado ou, para sermos mais concisos,
\textquotedblleft \textit{tipo}\textquotedblright{} determinado, que
designaremos por

\begin{equation}
\overline{M}\mbox{.}
\end{equation}

Por tipo ordinal entendemos \textit{o conceito geral que obtemos de
$M$, quando abstra�mos somente da natureza dos elementos $m$, mas
mantemos a hierarquia que ocorre entre eles}.

Destarte, o tipo ordinal $\overline{M}$ � \textit{ele pr�prio um
conjunto ordenado}, cujos elementos s�o \textit{unidades puras} que
t�m a mesma hierarquia entre si que a dos respectivos elementos de
$M$, a partir dos quais as unidades puras foram derivadas por abstra��o.

Chamaremos dois conjuntos ordenados $M$ e $N$ de \textquotedblleft \textit{similares}\textquotedblright ,
se eles puderem ser ordenados rec�proca e univocamente, de tal forma
que se $m_1$ e $m_2$ forem quaisquer dois elementos de $M$, $n_1$
e $n_2$ forem os elementos correspondentes de $N$, ent�o a rela��o
de ordem que ocorre entre $m_1$ e $m_2$ em $M$ sempre ser� a mesma
que a que ocorre entre $n_1$ e $n_2$ em $N$. Uma tal correspond�ncia
entre conjuntos similares ser� chamada de \textquotedblleft \textit{mapeamento}\textquotedblright{}
destes conjuntos um sobre o outro. Em um tal mapeamento, a todo conjunto
parcial $M_1$ de $M$ (que obviamente se apresenta como um conjunto
ordenado) corresponde um conjunto parcial similar $N_1$ de $N$.

Expressaremos a similaridade entre dois conjuntos ordenados $M$ e
$N$ pela f�rmula

\begin{equation}
M\cong N\mbox{.}
\end{equation}

\textit{Todo conjunto ordenado � similar a si mesmo}.

\textit{Se dois conjuntos ordenados forem similares a um terceiro,
ent�o eles ser�o similares entre si}.

Uma reflex�o simples mostrar� que \textit{dois conjuntos ordenados
ter�o o mesmo tipo ordinal se e somente se eles forem similares, de
tam forma que, de ambas as f�rmulas}

\begin{equation}
\overline{M}=\overline{N}\ ,\ M\cong N\mbox{.}
\end{equation}

\noindent \textit{uma � sempre consequ�ncia da outra}.

Se desconsiderarmos tamb�m a hierarquia dos elementos em um tipo ordinal
$\overline{M}$, ent�o obteremos o n�mero cardinal $\overline{\overline{M}}$
(�1) do conjunto ordenado $M$ e este n�mero cardinal ser�, ao mesmo
tempo, o n�mero cardinal do tipo ordinal $\overline{M}$.

Resulta de $\overline{M}=\overline{N}$ que $\overline{\overline{M}}=\overline{\overline{N}}$,
isto �, conjuntos ordenados que t�m tipos iguais sempre ter�o a mesma
pot�ncia ou o mesmo n�mero cardinal. A similaridade entre conjuntos
ordenados estabelece sempre a sua equival�ncia. Em contrapartida,
dois conjuntos ordenados podem ser equivalentes, sem serem similares.

Usaremos as letras min�sculas do alfabeto grego para designarmos os
tipos ordinais.

Se $\alpha$ for um tipo ordinal, ent�o por

\begin{equation}
\overline{\alpha}.
\end{equation}

\noindent entenderemos seu respectivo n�mero cardinal.

Os tipos ordinais de conjuntos simplesmente ordenados finitos n�o
oferecem nenhum interesse especial. Pois, facilmente nos convencemos
de que, para um e o mesmo n�mero cardinal finito $v$, todos os conjuntos
simplesmente ordenados s�o similares entre si e, portanto, t�m um
e o mesmo tipo. Consequentemente, os tipos ordinais simples e finitos,
assim como os n�meros cardinais finitos, est�o sujeitos �s mesmas
leis e � permitido usar os mesmos s�mbolos $1, 2, 3,\ldots,v,\ldots$
para design�-los, embora os tipos ordinais sejam conceitualmente diferentes
dos n�meros cardinais.

A situa��o � totalmente diferente quando se trata dos \textit{tipos
ordinais transfinitos}, porque para um e o mesmo n�mero cardinal transfinito
existem in�meros tipos diferentes de conjuntos simplesmente ordenados
os quais constituem, na sua totalidade, uma \textquotedblleft \textit{classe
de tipos}\textquotedblright{} particular.

Todas estas classes de tipo, portanto, s�o determinadas pelo n�mero
cardinal transfinito $\mathfrak{a}$ o qual � comum a todos os tipos
individuais que pertencem � classe; Assim, cham�-la-emos, resumidamente,
de classe de tipos $[\mathfrak{a}]$.

Uma destas classes de tipos, a qual, primeiramente, apresenta-se-nos
de forma natural, e cuja investiga��o completa tamb�m dever� ser,
destarte, o pr�ximo objetivo particular da Teoria dos Conjuntos Transfinitos,
� a classe dos tipos $[\aleph_{0}]$ que compreende todos os tipos
que t�m o menor n�mero cardinal transfinito $\aleph_{0}$.

Temos de distinguir o n�mero cardinal $\mathfrak{a}$, que \textit{determina}
a classe de tipos $[\mathfrak{a}]$, do n�mero cardinal $\mathfrak{a}'$,
que \textit{� determinado, por sua vez, pela classe de tipos} $[\mathfrak{a}]$;
este �ltimo � o n�mero cardinal que pertence � classe de tipos $[\mathfrak{a}]$
(�1), na medida em que ela representa um \textit{conjunto bem determinado,
cujos elementos s�o todos os tipos} $\alpha$ \textit{que t�m n�mero
cardinal} $\mathfrak{a}$. Veremos que $\mathfrak{a}'$ difere de
$\mathfrak{a}$ e, de fato, que $\mathfrak{a}'$ � maior que $\mathfrak{a}$.

Se, em um conjunto ordenado $M$, todas as rela��es de ordem entre
seus elementos forem invertidas, de maneira que, em todos os lugares,
o \textquotedblleft menor\textquotedblright{} torna-se \textquotedblleft maior\textquotedblright{}
e o \textquotedblleft maior\textquotedblright{} torna-se \textquotedblleft menor\textquotedbl ,
ent�o obteremos novamente um conjunto ordenado que designaremos por

\begin{equation}
*M.
\end{equation}

\noindent e chamaremos de \textquotedblleft \textit{inversa}\textquotedblright{}
de $M$.

Se $\alpha=\overline{M}$, ent�o designaremos o tipo ordinal de $*M$
por

\begin{equation}
*\alpha.
\end{equation}

\noindent Pode ocorrer que $*\alpha=\alpha$, que investigaremos sob
a nota��o $\eta$. Por exemplo, no caso dos tipos finitos ou no caso
do tipo do conjunto $R$ de todos os n�meros racionais que s�o maiores
que 0 e menores que 1 na sua hierarquia natural.

Ademais, observamos que dois conjuntos ordenados similares podem ser
mapeados um sobre o outro ou em uma �nica maneira ou em v�rias maneiras;
no primeiro caso, o tipo em quest�o � similar a si mesmo em uma �nica
maneira, no segundo, em v�rias maneiras.

Assim, n�o somente todos os tipos finitos, mas tamb�m os tipos dos
\textquotedblleft conjuntos bem-ordenados\textquotedblright{} transfinitos,
com os quais nos ocuparemos mais tarde e que chamaremos de \textquotedblleft n�meros
ordinais transfinitos\textquotedblright , s�o tais que admitem somente
um �nico mapeamento sobre eles mesmos. Por outro lado, todo tipo $\eta$
� similar a si mesmo em in�meras maneiras.

Elucidaremos esta distin��o com dois exemplos simples.

Por $\omega$ entendemos o tipo de um conjunto bem-ordenado

\begin{center}
$(e_1, e_2,\ldots, e_v,\ldots)$,
\par\end{center}

\noindent no qual

\begin{center}
$e_{v}\prec e_{v+1}$,
\par\end{center}

\noindent onde $v$ representa todos os n�meros cardinais finitos.

Um outro conjunto bem-ordenado de mesmo tipo $\omega$

\begin{center}
$(f_1, f_2,\ldots, f_v,\ldots)$,
\par\end{center}

\noindent com a condi��o

\begin{center}
$f_{v}\prec f_{v+1}$,
\par\end{center}

\noindent poder� ser, evidentemente, apenas \textquotedblleft mapeado\textquotedblright{}
sobre aquele conjunto acima, de tal forma que $e_v$ e $f_v$ s�o
elementos correspondentes. Pois, de acordo com a ordem, o menor elemento
$e_1$ do primeiro conjunto deve corresponder-se, no mapeamento, ao
menor elemento $f_1$ do segundo conjunto, $e_2$, o sucessor de $e_1$,
de acordo com a ordem, deve corresponder-se a $f_2$, o sucessor de
$f_1$, e assim por diante.

Qualquer outra correspond�ncia reciprocamente un�voca entre dois conjuntos
equivalentes $\{e_v\}$ e $\{f_v\}$ n�o � um \textquotedblleft mapeamento\textquotedblright{}
no sentido em que fixamos acima para a Teoria dos Tipos.

Admitamos, por outro lado, um conjunto ordenado da forma

\begin{center}
$\{e_{v'}\}$,
\par\end{center}

\noindent onde $v'$ representa todos os n�meros inteiros positivos
e negativos finitos com a inclus�o de 0 e onde igualmente

\begin{center}
$e_{v'}\prec e_{v'+1}$,
\par\end{center}

Este conjunto, de acordo com a ordem, n�o tem nem menor elemento,
nem maior elemento. Seu tipo, segundo a defini��o de soma que daremos
em �8, ser�:

\begin{center}
$*\omega+\omega$
\par\end{center}

Ele � similar a si mesmo em in�meras maneiras.

Pois, se considerarmos um conjunto de mesmo tipo

\begin{center}
$\{f_{v'}\}$,
\par\end{center}

\noindent onde

\begin{center}
$f_{v'}\prec f_{v'+1}$,
\par\end{center}

\noindent ent�o ambos os conjuntos ordenados poder�o ser mapeados
um sobre o outro, de tal modo que, se entendermos por $v'_{0}$ um
dos n�meros $v'$, ao elemento $e_{v'}$ do primeiro conjunto corresponder�
o elemento $f_{v'_{0}+v'}$ do segundo. Dada a arbitrariedade de $v'_{0}$,
temos, portanto, neste caso, infinitos mapeamentos.

O conceito de \textquotedblleft tipo ordinal\textquotedblright{} aqui
desenvolvido, quando ele � transferido da mesma maneira para \textquotedblleft os
conjuntos multiplamente ordenados\textquotedblright , compreende,
junto com o conceito de \textquotedblleft n�mero cardinal ou pot�ncia\textquotedblright{}
introduzido em �1, tudo \textquotedblleft capaz de ser numerado\textquotedblright{}
que �, em geral, pens�vel e, neste sentido, n�o pode ser ainda mais
generalizado. O conceito de tipo ordinal n�o cont�m nada de arbitr�rio,
mas sim ele � a extens�o natural do conceito de n�mero. \textit{Merece
ser particularmente enfatizado que o crit�rio de identidade (4) resulta,
com necessidade absoluta, do conceito de tipo ordinal e, consequentemente,
n�o admite nenhuma altera��o}. O motivo principal do grave erro que
� encontrado no trabalho do Sr. G. Veronese \textquotedblleft Os Fundamentos
da Geometria\textquotedblright{} (traduzido para o alem�o por A. Schepp,
Leipzig, 1894) consiste na incompreens�o deste fato.

Na p�g. 30, \textquotedblleft o n�mero de um grupo ordenado\textquotedblright{}
� definido em total concord�ncia com o que chamamos de \textquotedblleft tipo
ordinal de um conjunto simplesmente ordenado\textquotedblright . (Sobre
a Teoria dos Transfinitos, Halle, 1890, pp. 68-75, reimpresso de \textit{Zeitsch.t
f�r Philos}. e \textit{philos. Kritik}, do ano de 1887).

Mas Sr. Veronese julga que ele deva fazer um aditamento ao crit�rio
de identidade. Ele diz na p�g. 31: \textquotedblleft N�meros, cujas
unidades se correspondem univocamente e na mesma ordem e onde um n�o
� parte do outro, nem igual a uma parte do outro, s�o iguais\textquotedblright \footnoteB{Na edi��o original italiana (p�g. 27), esta passagem diz textualmente: ``Numeri le unit� dei quali si corrispondo univocamente e nel medesimo ordine, e di cui l'uno non � parte o uguale ad una parte dell' atro, sono uguali''.}.

Esta defini��o de identidade � circular e, portanto, � sem sentido
{[}\textit{Nonsens}{]}.

O que significa, pois, neste aditamento, \textquotedblleft \textit{nem
igual a uma parte do outro}\textquotedblright ?

Para respondermos esta quest�o, deveremos, antes de tudo, saber quando
dois n�meros s�o iguais ou desiguais. Portanto, \textit{sua defini��o
de identidade} (sem contar com a sua arbitrariedade) \textit{pressup�e
uma defini��o de identidade, que novamente pressup�e uma defini��o
de identidade, na qual devemos novamente saber o que � igual e desigual
e assim por diante, e assim por diante, ad infinitum}.

Depois que Sr. Veronese abandonou, voluntariamente, por assim dizer,
o fundamento imprescind�vel para compara��o de n�meros, n�o dever�amos
admirar-nos com o desregramento {[}\textit{Regellosigkeit}{]} no qual
ele operou, posteriormente, com seus n�meros pseudo-transfinitos e
aos quais ele atribuiu propriedades que eles n�o poderiam possuir,
simplesmente porque eles mesmos, na forma imaginada por Sr. Veronese,
n�o t�m nenhuma exist�ncia, sen�o, pois, no papel. Assim, a semelhan�a
incr�vel que sua forma��o de n�meros tem com \textquotedblleft n�meros
transfinitos\textquotedblright{} muito absurdos apresentados em \textquotedblleft Geometria
do Infinito\textquotedblright{} de Fontennelle (Paris, 1727) tamb�m
se torna compreens�vel.

Recentemente, Sr. W. Killing expressou, de forma louv�vel, em \textquotedblleft Index
lectionum\textquotedblright{} da academia de M�nster (em 1895-96),
suas d�vidas em rela��o ao fundamento do livro de Veronese.

\section{Adi��o e Multiplica��o dos Tipos Ordinais}

O conjunto uni�o $(M, N)$ de dois conjuntos $M$ e $N$, quando estes
s�o ordenados, pode ser concebido como um conjunto ordenado no qual
as rela��es de ordem que ocorrem entre os elementos de $M$, assim
como as rela��es de ordem que ocorrem entre os elementos de $N$ permanecem
as mesmas que as que ocorrem em $M$ ou $N$, respectivamente e, por
outro lado, todos os elementos de $M$ t�m uma ordem menor que todos
os elementos de $N$. Se $M'$ e $N'$ forem dois outros conjuntos
ordenados e se $M\cong M'$, $N\cong N'$, ent�o $(M,N)\cong(M',N')$;
portanto, o tipo ordinal de $(M,N)$ depende apenas dos tipos ordinais
$\overline{M}=\alpha$ e $\overline{N}=\beta$. Assim, definiremos:\setcounter{equation}{0}

\begin{equation}
\alpha+\beta=\overline{(M,N)}.
\end{equation}

Na soma $\alpha+\beta$, $\alpha$ ser� chamado de \textquotedblleft adicionado\textquotedblright ,
$\beta$ ser� chamado de \textquotedblleft adicionante\textquotedblright .

Para quaisquer tr�s tipos, facilmente provamos a lei associativa:

\begin{equation}
\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma.
\end{equation}

\noindent Por outro lado, a lei comutativa n�o �, em geral, v�lida
para a adi��o de tipos. J� veremos isto no seguinte simples exemplo.

Se $\omega$ for, como mencionado em �7, o tipo do conjunto bem-ordenado

\begin{center}
$E=(e_{1},e_{2},\ldots,e_{v},\ldots),$ $e_{v}\prec e_{v+1}$,
\par\end{center}

\noindent ent�o $1+\omega$ n�o ser� igual a $\omega+1$.

Pois, se $f$ for um novo elemento, ent�o, de acordo com (1), teremos
que

\begin{center}
$1+\omega=\overline{(f,E)}$
\par\end{center}

\begin{center}
$\omega+1=\overline{(E,f)}$
\par\end{center}

O conjunto

\begin{center}
$(f,E)=(f,e_{1},e_{2},\ldots,e_{v},\ldots)$
\par\end{center}

\noindent �, por�m, similar ao conjunto $E$, consequentemente

\begin{center}
$1+\omega=\omega$.
\par\end{center}

Em contrapartida, os conjuntos $E$ e $(E,f)$ n�o s�o similares,
porque o primeiro conjunto n�o tem, de acordo com a ordem, um maior
membro, todavia o segundo tem o maior membro $f$. $\omega+1$ �,
portanto, diferente de $1+\omega$.

A partir de dois conjuntos ordenados $M$ e $N$ que t�m tipos, respectivamente,
$\alpha$ e $\beta$, podemos obter um conjunto ordenado $S$, substituindo,
em $N$, todos os elementos $n$ por um conjunto ordenado $M_n$,
o qual tem o mesmo tipo $\alpha$ que $M$, de tal forma que

\begin{equation}
\overline{M_{n}}=\alpha,
\end{equation}

\noindent e apresentando, em rela��o � hierarquia que ocorre em

\begin{equation}
S=\{M_{n}\},
\end{equation}

\noindent as seguintes determina��es:

\begin{enumerate}

\item[1)]quaisquer dois elementos de $S$, que pertencem a um e mesmo
conjunto $M_n$, mant�m, em $S$, a mesma rela��o de ordem que em
$M_n$;

\item[2)]quaisquer dois elementos de $S$, que pertencem a dois conjuntos
diferentes $M_{n_{1}}$ e $M_{n_{2}}$, mant�m, em $S$, a mesma rela��o
de ordem que $n_{1}$ e $n_{2}$ t�m em $N$.

\end{enumerate}

O tipo ordinal de $S$, com facilmente � visto, depende somente dos
tipos $\alpha$ e $\beta$; definiremos:

\begin{equation}
\alpha.\beta=\overline{S}\mbox{.}
\end{equation}

Neste produto, $\alpha$ ser� chamado de \textquotedblleft \textit{multiplicando}\textquotedblright{}
e $\beta$ ser� chamado de \textquotedblleft \textit{multiplicador}\textquotedblright .

De acordo com algum mapeamento de $M$ sobre $M_n$, seja $m_n$ o
elemento de $M_n$ que corresponde ao elemento $m$ de $M$.

Ent�o, podemos tamb�m escrever

\begin{equation}
S=\{m_{n}\}.
\end{equation}

Se admitirmos um terceiro conjunto ordenado $P=\{p\}$ que tem o tipo
ordinal $\overline{P}=\gamma$, ent�o, de acordo com (5), teremos
que

\begin{center}
$\alpha.\beta=\overline{\{m_{n}\}}$, $\beta.\gamma=\overline{\{n_{p}\}}$,
$(\alpha.\beta).\gamma=\overline{\{(m_{n})_{p}\}}$, $(\alpha.\beta).\gamma=\overline{\{m{}_{(n_{p})}\}}$.
\par\end{center}

\noindent Por�m, ambos os conjuntos ordenados $\{(m_{n})_{p}\}$ e
$\{m_{(n_{p})}\}$ s�o similares e s�o mapeados um sobre o outro,
considerando-se $(m_{n})_{p}$ e $m_{(n_{p})}$ como elementos correspondentes.

Consequentemente, para tr�s tipos $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$
, a \textit{lei associativa}

\begin{equation}
(\alpha.\beta).\gamma=\alpha.(\beta.\gamma)\mbox{ .}
\end{equation}

\noindent subsiste.

De (1) e (5), resulta facilmente a \textit{lei distributiva}

\begin{equation}
\alpha.(\beta+\gamma)=\alpha.\beta+\alpha.\gamma\mbox{ .}
\end{equation}

\noindent Contudo apenas nesta forma, \textit{onde o fator que tem
dois membros desempenha o papel de multiplicador}.

Por outro lado, a lei comutativa para a multiplica��o, em rela��o
aos tipos, assim como para adi��o, n�o � geralmente v�lida.

Por exemplo, $2.\omega$ e $\omega.2$ s�o tipos diferentes; de acordo
com (5),

\begin{center}
$2.\omega=\overline{(e_{1},f_{1};e_{2},f_{2};\ldots;e_{v},f_{v};\ldots)}=\omega$;
\par\end{center}

\noindent em contrapartida,

\begin{center}
$\omega.2=\overline{(e_{1},e_{2},\ldots,e_{v},\ldots;f_{1},f_{2},\ldots,f_{v},\ldots)}$
\par\end{center}

\noindent que � evidentemente diferente de $\omega$.

Se compararmos as defini��es das opera��es elementares para n�meros
cardinais apresentadas em �3 com as aqui estabelecidas para tipos
ordinais, ent�o facilmente reconheceremos que o n�mero cardinal da
soma de dois tipos � igual � soma dos n�meros cardinais dos tipos
individuais e que o n�mero cardinal do produto de dois tipos � igual
ao produto dos n�meros cardinais dos tipos individuais.

Portanto, toda equa��o entre tipos ordinais que resulta das duas opera��es
elementares tamb�m permanecer� correta, mesmo se substituirmos, na
equa��o, todos os tipos pelos seus n�meros cardinais.

\section{O Tipo Ordinal $\eta$ do Conjunto $R$ de todos os N�meros Racionais,
que s�o maiores que 0 e menores que 1, na sua Hierarquia Natural}

Por $R$ entenderemos, como em �7, o sistema de todos os n�meros racionais
$\frac{p}{q}$ ($p$ e $q$ pensados como relativamente primos), que
s�o maiores que 0 e menores que 1, \textit{na sua hierarquia natural},
onde a grandeza do n�mero determina a sua ordem. Designaremos o tipo
ordinal de R por $\eta$:\setcounter{equation}{0}

\begin{equation}
\eta=\overline{R}\mbox{.}
\end{equation}

\noindent Por�m, o mesmo conjunto pode ser posto em uma outra hierarquia
na qual chamaremos este conjunto de $R_0$. Em primeiro lugar, a grandeza
de $p+q$ determina a sua ordem e, em segundo lugar, a pr�pria grandeza
de $\frac{p}{q}$ determina a sua ordem, a saber, em rela��o aos n�meros
racionais, para os quais tem o mesmo valor. $R_0$ tem a forma de
um conjunto bem-ordenado do tipo $\omega$:

\begin{equation}
R_{0}=(r_{1},r_{2},\ldots r_{v},\ldots)\mbox{, onde\ }r_{v}\prec r_{v+1}.
\end{equation}

\begin{equation}
\overline{R_{0}}=\omega.
\end{equation}

$R$ e $R_0$ t�m o mesmo n�mero cardinal, porque eles somente se
diferenciam na hierarquia dos seus elementos, e uma vez que obviamente
$\overline{\overline{R_{0}}}=\aleph_{0}$, ent�o tamb�m teremos que

\begin{equation}
\overline{\overline{R}}=\overline{\eta}=\aleph_{0}.
\end{equation}

\noindent Destarte, o tipo $\eta$ pertence � classe de tipos $[\aleph_{0}]$.

Em segundo lugar, observamos que, em $R$, n�o existe, de acordo com
a ordem, nem o menor elemento, nem o maior.

Em terceiro lugar, $R$ tem a propriedade, segundo a qual entre quaisquer
dois de seus elementos se encontram, de acordo com a ordem, outros
elementos; expressaremos esta propriedade palavras: $R$ � \textquotedblleft \textit{denso
por toda parte}\textquotedblright .

Mostraremos agora que estas tr�s propriedades caracterizam o tipo
$\eta$ de $R$, de tal forma que os seguinte teoremas s�o justificados:

\textquotedblleft Se tivermos um conjunto simplesmente ordenado M
que satisfa�a a tr�s condi��es:

\begin{enumerate}

\item[1)]$\overline{\overline{M}}=\aleph_{0}$,

\item[2)]$M$ n�o tem, de acordo com a ordem, nem menor elemento,
nem maior elemento,

\item[3)]$M$ \textit{� denso por toda parte},

\end{enumerate}

\noindent ent�o o tipo ordinal de $M$ � igual a $\eta$:

\begin{center}
$\overline{M}=\eta$''.
\par\end{center}

Prova. Por causa da condi��o 1) $M$ pode ser arranjado na forma de
um conjunto bem-ordenado do tipo $\omega$; tomando-se por base uma
tal forma, designaremos $M$ por $M_0$ e estabeleceremos

\begin{equation}
M_{0}=(m_{1},m_{2},\ldots,m_{v},\ldots).
\end{equation}

\noindent Ent�o, temos de mostrar que

\begin{equation}
M\cong R.
\end{equation}

\noindent Ou seja, deveremos provar que $M$ pode ser \textit{mapeado}
sobre $R$, de tal maneira que a rela��o de ordem que ocorre entre
quaisquer dois elementos de $M$ � a mesma que a ocorre entre dois
elementos correspondentes de $R$.

O elemento $r_1$ de $R$ pode corresponder-se ao elemento $m_1$
de $M$.

$r_2$ tem uma rela��o de ordem determinada com $r_1$ em $R$; por
causa da condi��o 2), existem infinitos elementos $m_v$ de $M$ que
t�m, em $M$, a mesma rela��o de ordem com $m_1$ que $r_2$ tem,
em $R$, com $r_1$; destes infinitos elementos, escolheremos aquele
que, em $M_0$, tem o menor subscrito. Seja $m_{i_{2}}$ e coordenamo-lo
a $r_2$.

$r_3$ tem, em $R$, rela��es de ordem determinadas com $r_1$ e $r_2$;
por causa da condi��es 2) e 3), existem infinitos elementos $m_v$
de $M$ que t�m, em $M$, as mesmas rela��es de ordem com $m_1$ e
$m_{i_{2}}$ que $r_3$ tem, em $R$, com $r_1$ e com $r_2$; destes
infinitos elementos, escolhemos aquele que, em $M_0$, tem o menor
subscrito. Suponha $m_{i_{3}}$ e coordenamo-lo a $r_3$.

De acordo com esta lei, podemos pensar no processo cont�nuo de correspond�ncia;
se aos $v$ elementos

\begin{center}
$r_{1},r_{2},r_{3},\ldots,r_{v}$
\par\end{center}

\noindent de R corresponderem, como mapa, os elementos determinados

\begin{center}
$m_{1},m_{i_{2}},m_{i_{3}},\ldots,m_{i_{v}}$
\par\end{center}

\noindent de $M$ que t�m entre si, em $M$, a mesma rela��o de ordem
que a dos elementos correspondentes em $R$, ent�o ao elemento $r_{v+1}$
de $R$ corresponder�, como mapa, o elemento $m_{i_{v+1}}$ de $M$
de menor subscrito em $M_0$ que tem, em $M$, as mesmas rela��es
de ordem com

\begin{center}
$m_{1},m_{i_{2}},m_{i_{3}},\ldots,m_{i_{v}}$
\par\end{center}

\noindent que $r_{v+1}$, em R, tem com $r_1, r_2,\ldots,r_v$.

Desta forma, correlacionamos os elementos determinados $m_{i_{v}}$
de $M$ a \textit{todos} os elementos $r_v$ de $R$, e os elementos
$m_{i_{v}}$ t�m, em $M$, a mesma hierarquia que a dos elementos
correspondentes $r_v$ em $R$.

Mas, ainda temos de mostrar que os elementos $m_{i_{v}}$ compreendem
\textit{todos os} $m_v$ \textit{de} $M$ ou, o que � a mesma coisa,
que a s�rie

\begin{center}
$1,\iota_{2},\iota_{3},\ldots,\iota_{v},\ldots$
\par\end{center}

\noindent � apenas uma \textit{permuta��o} da s�rie

\begin{center}
$1,2,3,\ldots,v,\ldots$.
\par\end{center}

Provaremos isto por \textit{indu��o completa}, ao mostrarmos que \textit{se}
os elementos $m_{1},m_{2},\ldots,m_{v}$ ocorrem no mapeamento, o
\textit{mesmo acontece tamb�m com o pr�ximo elemento} $m_{v+1}$.

Seja $\lambda$ t�o grande, que ocorrem, entre os elementos

\begin{center}
$m_{1},m_{\iota_{2}},m_{\iota_{3}},\ldots,m_{\iota_{\lambda}}$
\par\end{center}

\noindent os elementos

\begin{center}
$m_{1},m_{2},\ldots,m_{v}$,
\par\end{center}

\noindent (que, de acordo com a suposi��o, aparecem no mapeamento).
Talvez, $m_{v+1}$ tamb�m possa ser encontrado entre estes; ent�o
$m_{v+1}$ aparece no mapeamento.

Mas, se n�o encontrarmos $m_{v+1}$ entre os elementos

\begin{center}
$m_{1},m_{\iota_{2}},m_{\iota_{3}},\ldots,m_{\iota_{\lambda}}$,
\par\end{center}

\noindent ent�o $m_{v+1}$ ter� com estes elementos de $M$, uma posi��o
de ordem determinada; infinitos elementos de $R$ t�m a mesma posi��o
de ordem em rela��o a $r_{1},r_{2},\ldots,r_{\lambda}$ em $R$, entre
os quais suponha $r_{\lambda+\sigma}$ que tem o menor subscrito em
$R_0$.

Ent�o, como facilmente nos convencemos, $m_{v+1}$ tamb�m ter�, em
rela��o a

\begin{center}
$m_{1},m_{\iota_{2}},m_{\iota_{3}},\ldots,m_{\iota_{\lambda+\sigma-1}}$,
\par\end{center}

\noindent a mesma posi��o de ordem em $M$ que $r_{\lambda+\sigma}$
tem em rela��o a

\begin{center}
$r_{1},r_{2},\ldots,r_{\lambda+\sigma-1}$
\par\end{center}

\noindent em $R$. Uma vez que $m_{1},m_{2},\ldots,m_{v}$ j� apareceram
no mapeamento, ent�o $m_{v+1}$ � o elemento com o menor subscrito
em $M_0$ que tem esta posi��o de ordem em rela��o a

\begin{center}
$m_{1},m_{\iota_{2}},m_{\iota_{3}},\ldots,m_{\iota_{\lambda+\sigma-1}}$.
\par\end{center}

\noindent Consequentemente, de acordo com a nossa lei de correspond�ncia,

\begin{center}
$m_{\iota_{\lambda+\sigma}}=m_{v+1}$.
\par\end{center}

Portanto, neste caso, o elemento $m_{v+1}$ tamb�m aparece no mapeamento
e, de fato, $r_{\lambda+\sigma}$ � o elemento de $R$ que est� correlacionado
�quele.

Vemos, assim, que, por meio de nosso modo de correspond�ncia, \textit{o
conjunto inteiro} $M$ � mapeado \textit{sobre conjunto inteiro} $R$;
$M$ e $R$ s�o conjuntos similares, o que quer�amos provar.
\begin{center}
\rule{4cm}{2pt}
\par\end{center}

Do teorema que acabamos de provar, obtemos, por exemplo, os seguintes
teoremas:

\textquotedblleft $\eta$ � o tipo ordinal do conjunto de todos os
n�meros racionais positivos e negativos, incluindo o n�mero zero,
na sua hierarquia natural\textquotedblright .

\textquotedblleft $\eta$ � o tipo ordinal do conjunto de todos os
n�meros racionais que s�o maiores que $a$ e menores que $b$ na sua
hierarquia natural, onde $a$ e $b$ s�o quaisquer dois n�meros reais
e $a<b$\textquotedblright .

\textquotedblleft $\eta$ � o tipo ordinal de conjunto de todos os
n�meros reais alg�bricos na sua hierarquia natural\textquotedblright .

\textquotedblleft $\eta$ � o tipo ordinal do conjunto de todos os
n�meros reais alg�bricos que s�o maiores que $a$ e menores que $b$
na sua hierarquia natural, onde $a$ e $b$ s�o quaisquer dois n�meros
reais e $a<b$\textquotedblright .

Todos estes conjuntos ordenados, pois, satisfazem as tr�s condi��es
exigidas em nosso teorema para $M$ (compare com Crelle\textasciiacute s
Journal, vol. 77, p�g. 258).

Se, ademais, considerarmos, de acordo com as defini��es dadas em �8,
os conjuntos que t�m tipos $\eta+\eta$, $\eta\eta$, $(1+\eta)\eta$,
$(\eta+1)\eta$, $(1+\eta+1)\eta$, ent�o veremos que estes conjuntos
tamb�m satisfazem aquelas tr�s condi��es. Por conseguinte, temos os
teoremas:

\begin{equation}
\eta+\eta=\eta.
\end{equation}

\begin{equation}
\eta\eta=\eta.
\end{equation}

\begin{equation}
(1+\eta)\eta=\eta.
\end{equation}

\begin{equation}
(\eta+1)\eta=\eta.
\end{equation}

\begin{equation}
(1+\eta+1)\eta=\eta.
\end{equation}

A aplica��o reiterada de (7) e (8) resulta, para todo n�mero finito
v, que

\begin{equation}
\eta.v=\eta.
\end{equation}

\noindent e

\begin{equation}
\eta^{v}=\eta.
\end{equation}

\noindent Por outro lado, como facilmente vemos, para $v>1$, os tipos
$1+\eta$, $\eta+1$, $v.\eta$, $(1+\eta+1)$ s�o diferentes entre
si, como tamb�m de $\eta$. Em compensa��o, 

\begin{equation}
\eta+1+\eta=\eta.
\end{equation}

Entretanto, para $v>1$, $\eta+v+\eta$ � diferente de $\eta$.

Finalmente, merece ser salientado que

\begin{equation}
*\eta=\eta.
\end{equation}


\section{A S�rie Fundamental Contida em um Conjunto Ordenado Transfinito}

Consideremos qualquer conjunto simplesmente ordenado transfinito $M$.
Todo conjunto parcial de $M$ � um conjunto ordenado. Para o estudo
do tipo $\overline{M}$, aqueles conjuntos parciais aos quais pertencem
os tipos $\omega$ e $*\omega$ parecem ser especialmente valiosos;
cham�-los-emos de \textquotedblleft \textit{s�rie fundamental de primeira
ordem contida em} $M$\textquotedblright . De fato, chamaremos a primeira
s�rie (de tipo $\omega$) de \textquotedblleft \textit{ascendente}\textquotedblright ,
a outra (de tipo $*\omega$) de \textquotedblleft \textit{descendente}\textquotedblright .

Uma vez que nos limitaremos � considera��o da s�rie fundamental de
\textit{primeira ordem} (mais tarde, tamb�m nos ocuparemos com a investiga��o
de s�ries de \textit{ordem superior}), ent�o iremos cham�-las aqui
simplesmente de \textquotedblleft \textit{s�rie fundamental}\textquotedblright .

Uma \textquotedblleft s�rie fundamental ascendente\textquotedblright ,
portanto, tem a forma\setcounter{equation}{0}

\begin{equation}
\{a_{v}\}\mbox{, onde }a_{v}\prec a_{v+1},
\end{equation}

\noindent uma \textquotedblleft s�rie fundamental descendente\textquotedblright{}
� da forma

\begin{equation}
\{b_{v}\}\mbox{, onde }b_{v}\succ b_{v+1}.
\end{equation}

$\nu$ (assim como $\kappa,\lambda,\mu$) designa, por toda a parte
nas nossas considera��es, qualquer n�mero cardinal \textit{finito}
ou, tamb�m, qualquer tipo \textit{finito}, respectivamente, de um
n�mero ordinal \textit{finito}.

Chamaremos duas s�ries fundamentais ascendentes $\{a_{v}\}$ e $\{a'_{v}\}$
contidas em $M$ de \textquotedblleft \textit{relacionadas}\textquotedblright ,
em s�mbolos

\begin{equation}
\{a_{v}\}\Vert\{a'_{v}\},
\end{equation}

\noindent se, para todo elemento $a_{v}$, existirem elementos $a'_{\lambda}$,
tais que

\begin{center}
$a_{v}\prec a'_{\lambda}$,
\par\end{center}

\noindent e se, para todo elemento $a'_{v}$, existirem elementos
$a_{\mu}$, tais que

\begin{center}
$a'_{v}\prec a_{\mu}$.
\par\end{center}

Duas s�rias fundamentais descendentes $\{b_{v}\}$ e $\{b'_{v}\}$
contidas em $M$ ser�o chamadas de \textquotedblleft relacionadas\textquotedblright ,
em s�mbolos

\begin{equation}
\{b_{v}\}\Vert\{b'_{v}\},
\end{equation}

\noindent se, para todo elemento $b_{v}$, existirem elementos $b'_{\lambda}$,
tais que 

\begin{center}
$b_{v}\succ b'_{\lambda}$,
\par\end{center}

\noindent e se, para todo elemento $b'_{v}$, existirem elementos
$b_{\mu}$, tais que 

\begin{center}
$b'_{v}\succ b{}_{\mu}$.
\par\end{center}

Chamaremos uma s�rie fundamental ascendente $\{a_{v}\}$ e uma s�rie
fundamental descendente $\{b_{v}\}$ de \textquotedblleft \textit{relacionadas}\textquotedblright ,
em s�mbolos

\begin{equation}
\{a_{v}\}\Vert\{b{}_{v}\},
\end{equation}

\noindent se 1), para todos $v$ e $\mu$,

\begin{center}
$a_{v}\prec b_{\mu}$
\par\end{center}

\noindent e se 2) existir em $M$ \textit{no m�ximo um} elemento $m_0$
(portanto, ou apenas um ou nenhum), tal que, para todo $v$,

\begin{center}
$a_{v}\prec m_{0}\prec b_{v}$.
\par\end{center}

Ent�o, os teoremas abaixo s�o justificados:

\begin{enumerate}

\item[A.]\textquotedblleft \textit{Se duas s�ries fundamentais forem
relacionadas com uma terceira, ent�o elas ser�o relacionadas entre
si}\textquotedblright .

\item[B.]\textquotedblleft \textit{Duas s�ries fundamentais que t�m
a mesma dire��o, onde uma � um conjunto parcial da outra, s�o sempre
relacionadas}\textquotedblright .

\end{enumerate}

Se existir em $M$ um elemento $m_{0}$ que tem uma posi��o em rela��o
� serie fundamental ascendente $\{a_{v}\}$, tal que

\begin{enumerate}

\item[1)]1) para todo $v$

\begin{center}
$a_{v}\prec m_{0}$,
\par\end{center}

\item[2)]para todo elemento $m$ de M que � $\prec m_{0}$, h� um
certo n�mero $v_{0}$, de maneira que

\begin{center}
$a_{v}\succ m$, para $v\geq v_{0}$
\par\end{center}

\end{enumerate}

\noindent ent�o chamaremos $m_{0}$ de \textquotedblleft \textit{elemento-limite
de $\{a_{v}\}$ em M}\textquotedblright{} e tamb�m de \textquotedblleft \textit{elemento
principal de M}\textquotedblright .

Da mesma maneira, chamaremos $m_{0}$ de \textquotedblleft \textit{elemento
principal de M}\textquotedblright{} e tamb�m de \textquotedblleft \textit{elemento-limite
de $\{b_{v}\}$ em M}\textquotedblright , se as condi��es abaixo forem
satisfeitas:

\begin{enumerate}

\item[1)]1) para todo $v$

\begin{center}
$b_{v}\succ m_{0}$,
\par\end{center}

\item[2)]para todo elemento $m$ de M que � $\succ m_{0}$, h� um
certo n�mero $v_{0}$, de maneira que

\begin{center}
$b_{v}\prec m$, para $v\geq v_{0}$
\par\end{center}

\end{enumerate}

Uma s�rie fundamental \textit{nunca} pode ter \textit{mais do que
um} elemento-limite em $M$; mas, $M$ tem, em geral, muitos elementos
principais.

Convencemo-nos da verdade dos seguintes teoremas:

\begin{enumerate}

\item[C.]\textquotedblleft \textit{Se uma s�rie fundamental tiver
um elemento-limite em M, ent�o todas as s�ries fundamentais que lhe
s�o relacionadas ter�o o mesmo elemento-limite em M}\textquotedblright .

\item[D.]\textquotedblleft \textit{Se duas s�ries fundamentais (com
mesma dire��o ou com dire��es diferentes) tiverem o mesmo elemento-limite
em M, ent�o elas ser�o relacionadas}\textquotedblright .

\end{enumerate}

Se $M$ e $M'$ forem dois conjuntos ordenados similares, de tal forma
que

\begin{equation}
\overline{M}=\overline{M'},
\end{equation}

\noindent e se considerarmos \textit{qualquer mapeamento} entre os
dois conjuntos, ent�o ser�o v�lidos, como facilmente � visto, os seguintes
teoremas:

\begin{enumerate}

\item[E.]\textquotedblleft \textit{A toda s�rie fundamental em $M$
corresponde, como mapa, uma s�rie fundamental em $M'$ e vice-versa;
a toda s�ria ascendente corresponde uma ascendente em $M'$ e a toda
descendente $M$, uma descendente em $M'$; a toda s�rie fundamental
relacionada em $M$ corresponde, como mapa, uma s�rie fundamental
relacionada em $M'$ e vice-versa}\textquotedblright .

\item[F.]\textquotedblleft \textit{Se a uma s�rie fundamental em
$M$ pertencer um elemento-limite em $M$, ent�o a toda s�rie fundamental
correspondente em $M'$ tamb�m pertencer� um elemento-limite em $M'$
e vice-versa; e estes dois elementos limites s�o mapas um do outro
no mapeamento}\textquotedblright .

\item[G.]\textquotedblleft \textit{Aos elementos principais de }$M$
\textit{correspondem, como mapa, os elementos principais de} \textit{$M'$}
\textit{e vice-versa}\textquotedblright .

\end{enumerate}

Se um conjunto $M$ consiste em elementos principais, de maneira que
cada um dos seus elementos � um elemento principal, ent�o o chamaremos
de \textquotedblleft \textit{conjunto denso em si mesmo}\textquotedblright .

Se para toda s�rie fundamental em $M$ existir um elemento-limite
em $M$, ent�o chamaremos $M$ de \textquotedblleft \textit{conjunto
fechado}\textquotedblright .

Um conjunto que � tanto \textquotedblleft \textit{denso em si mesmo}\textquotedblright ,
quanto \textquotedblleft \textit{fechado}\textquotedblright{} ser�
chamado de \textquotedblleft \textit{conjunto perfeito}\textquotedblright .

Se um conjunto tiver um destes tr�s predicados, ent�o a todo conjunto
similar pertencer� tamb�m o mesmo predicado; consequentemente, estes
predicados poder�o ser atribu�dos tamb�m aos tipos ordinais correspondentes
e, assim, haver� \textquotedblleft \textit{tipos densos em si mesmos}\textquotedblright ,
\textquotedblleft \textit{tipos fechados}\textquotedblright , \textquotedblleft \textit{tipos
perfeitos}\textquotedblright{} e, igualmente, \textquotedblleft \textit{tipos
densos por toda parte}\textquotedblright{} (�9).

Portanto, por exemplo, $\eta$ � um tipo \textquotedblleft \textit{denso
em si mesmo}\textquotedblright , como foi mostrado em �9; $\eta$
tamb�m � \textquotedblleft \textit{denso por toda parte}\textquotedblright ,
mas n�o � \textquotedblleft \textit{fechado}\textquotedblright .

$\omega$ e $*\omega$ n�o t�m elementos principais (n�o t�m um �nico
elemento principal); por outro lado, $\omega+v$ e $v+*\omega$ t�m
um elemento principal e s�o tipos \textquotedblleft \textit{fechados}\textquotedblright .

O tipo $\omega.3$ tem dois elementos principais, mas n�o � \textquotedblleft \textit{fechado}\textquotedblright ;
o tipo $\omega.3+v$ tem tr�s elementos principais e � \textquotedblleft \textit{fechado}\textquotedblright .

\section{O Tipo Ordinal $\theta$ do Continuum Linear $X$}

Voltemo-nos � investiga��o do tipo ordinal do conjunto $X=\{x\}$
de todos os n�meros reais $x$ que s�o $\geq0$ e $\leq1$ na sua
hierarquia natural, de tal forma que, para quaisquer dois elementos
$x$ e $x'$,\setcounter{equation}{0}

\begin{equation}
x\prec x'\ \mbox{se }x<x'.
\end{equation}

Seja a nota��o para este tipo\setcounter{equation}{0}

\begin{equation}
\overline{X}=\theta.
\end{equation}

Dos elementos da teoria dos n�meros racionais e irracionais sabemos
que toda s�rie fundamental $\{x_{v}\}$ em $X$ tem um elemento-limite
$x_{0}$ em $X$ e que, inversamente, todo elemento $x$ de $X$ tamb�m
� um elemento-limite, em $X$, das s�ries fundamentais relacionadas.
Portanto, $X$ � um \textquotedblleft \textit{conjunto perfeito}\textquotedblright{}
e $\theta$ � um \textquotedblleft \textit{tipo perfeito}\textquotedblright .

Mas, $\theta$ ainda n�o � suficientemente caracterizado por isto,
antes temos de ter em vista a seguinte propriedade de $X$:

$X$ \textit{cont�m} como um conjunto parcial o conjunto $R$ de tipo
ordinal $\eta$ investigado em �9, \textit{de maneira que, em particular,
entre quaisquer dois elementos} $x_{0}$ e $x_{1}$ de $X$ se encontram,
de acordo com a ordem, os elementos de $R$.

Agora, temos de mostrar que \textit{estas propriedades consideradas
ao mesmo tempo} caracterizam completamente o tipo ordinal $\theta$
do \textit{continuum} linear $X$, de tal forma que o teorema abaixo
� v�lido:

\textquotedblleft \textit{Se um conjunto ordenado $M$ for tal que
}1)\textit{ ele � perfeito, }2)\textit{ nele est� contido um conjunto
$S$ com n�mero cardinal $\overline{\overline{S}}=\aleph_{0}$ e $S$
tem uma rela��o com $M$, segundo a qual entre quaisquer dois elementos
$m_{0}$ e $m_{1}$ de $M$ se encontram, de acordo com a ordem, os
elementos de $S$, ent�o} $\overline{M}=\theta$\textquotedblright .

Prova. Se $S$ tivesse um menor elemento ou um maior elemento, ent�o
estes elementos, por causa de 2), teriam o mesmo car�ter que os elementos
de $M$; poder�amos, pois, tir�-los de $S$, sem que este conjunto
perdesse, por meio disso, a rela��o com $M$ expressa em 2).

Assim, supomos, de antem�o, que $S$ n�o tem nem um menor elemento,
nem um maior elemento; ent�o, $S$ tem, de acordo com �9, o tipo ordinal
$\eta$.

Pois, uma vez que $S$ � uma parte de $M$, ent�o, de acordo com 2),
entre quaisquer dois elementos $s_{0}$ e $s_{1}$ de $S$ t�m de
se encontrar, de acordo com a ordem, outros elementos de $S$. Ademais,
temos, de acordo com 2), $\overline{\overline{S}}=\aleph_{0}$.

Os dois conjuntos $S$ e $R$ s�o, portanto, \textquotedblleft similares\textquotedblright{}
um ao outro,

\begin{equation}
S\cong R.
\end{equation}

Considerarmos qualquer \textquotedblleft \textit{mapeamento}\textquotedblright{}
de $R$ sobre $S$ e afirmarmos que tamb�m resulta deste um \textquotedblleft \textit{mapeamento}\textquotedblright{}
determinado de $X$ sobre $M$ da seguinte maneira:

Todos os elementos de $X$ que ao mesmo tempo pertencem ao conjunto
$R$ poderiam corresponder, como mapa, �queles elementos de $M$ que
s�o tamb�m elementos de $S$ e, no mapeamento pressuposto de $R$
sobre $S$, poderiam corresponder �queles elementos de $R$.

Mas, se $x_{0}$ for um elemento de $X$ que n�o pertence a $R$,
ent�o $x_{0}$ poder� ser considerado como o elemento-limite de uma
s�rie fundamental $\{x_{v}\}$ contida em $X$ e esta s�rie pode ser
substitu�da por uma s�rie fundamental relacionada a ela $r_{\kappa_{v}}$
contida em $R$. A esta �ltima corresponde, como mapa, uma s�rie fundamental
$\{s_{\lambda_{v}}\}$ em $S$ e em $M$ a qual, por causa de 1),
� limitada por um elemento $m_{0}$ em $M$ que n�o pertence a $S$
(F, �10). Este elemento $m_{0}$ em $M$ (que permanecer� o mesmo,
se nos lugares das s�rie fundamentais $\{x_{v}\}$ e $r_{\chi_{v}}$
forem pensadas outras s�ries limitadas pelo mesmo elemento $x_{0}$
em $X$, de acordo com E, C, D em �10) � considerado como um mapa
de $x_{0}$ em $X$. Inversamente, a cada elemento $m_{0}$ de $M$
que n�o ocorre em $S$ pertence um elemento totalmente determinado
$x_{0}$ de $X$ que n�o pertence a $R$ e do qual $m_{0}$ � o mapa.

Isto � o caso para aqueles elementos de $X$ e $M$ que pertencem,
ao mesmo tempo, aos conjuntos $R$ e $S$, respectivamente.

Comparemos um elemento $r$ de $R$ com um elemento $x_{0}$ de $X$
que n�o pertence a $R$; sejam $s$ e $m_{0}$ os elementos correspondentes
de $M$.

Se $r<x_{0}$, ent�o haver� uma s�rie fundamental ascendente $\{r_{\kappa_{v}}\}$
que � limitada por $x_{0}$ e, de um certo $v_{0}$, temos que

\begin{center}
$r<r_{\kappa_{v}}$, para $v>v_{0}$.
\par\end{center}

O mapa de $\{r_{\kappa_{v}}\}$ em $M$ � uma s�rie fundamental ascendente
$\{s_{\lambda_{v}}\}$ que � limitada por $m_{0}$ em $M$ e teremos
(�10), em primeiro lugar, que $s_{\lambda_{v}}\prec m_{0}$ para todo
$v$ e, em segundo lugar, que $s\prec s_{\lambda_{v}}$, para todo
$v>v_{0}$ para . Consequentemente (�7), $s\prec m_{0}$.

Se $r>x_{0}$, ent�o concluiremos semelhantemente que $s>m_{0}$.

Se considerarmos, enfim, dois elementos $x_{0}$ e $x_{0}'$ que n�o
pertencem a $R$ e os elementos $m_{0}$ e $n_{0}$ que correspondem
�queles em $M$, ent�o mostraremos, por meio de uma observa��o an�loga,
que se $x_{0}<x'_{0}$, ent�o $m_{0}\prec m'_{0}$.

Com isso, a prova da similaridade de $X$ e $M$ foi apresentada e,
consequentemente, $\overline{M}=\theta$.
\end{document}
